微積分學中的極限思想及其應用

王宏軍+賈月仙

摘 要：極限指的是從數量上描述了變量在無限的變化過程中所表現的變化趨勢，在無限變化的過程中對變量變化趨勢進行考察研究的思想稱為極限思想。對于將要進行考察研究的未知變量，可以先通過一種方法構思出一個跟它相關的變量，通過對這個變量在無限變化過程中得到的結果進行確認就能得到要求的那個未知量，再通過極限思想進行計算，從而得到最終的結構，上述就是通過極限思想解決數學問題的過程步驟。本文分析了幾種常見的極限思想模式，重點闡述了極限思想在數學微積分中的應用和對于數學教學的重要作用。

關鍵詞：微積分 極限思想 應用

中圖分類號：G623 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）11（c）-0252-02

極限思想反映的是一個變量和另一個已知量之間的無限接近，通過這個已知量得出另一個變量的最終極限值。微積分在數學歷史上的產生過程同時也是人類對極限思想的逐步深入認識和明確的一個過程。極限思想是數學微積分中的最基本數學思想。微積分中導數、多重積分、曲面積分、函數連續性、定積分和曲線等重要概念的定義都需要通過極限思想完成。由此可見，微積分是在極限思想支持下，以極限理論為主要的研究工具，對函數進行更深層次研究的一門學科。

1 極限思想

1.1 無窮分割方法下的極限思想

無窮分割方法下的極限思想是微積分思想的重要基礎。這種極限思想的實質是通過無數個同維度的無窮小的元素之和去定某些立體的體積、物體的質量和曲邊形的面積。定積分的理論來自與求曲邊梯形的面積，指的是將曲邊梯形看作無數個小梯形的面積之和。這一思想也被應用在求面積、求弧長和求旋轉體體積方面。在這一思想影響下，結合相關的解析幾何手段和代數方法，產生了直角坐標系下二重積分的定義和求解方法。由此可以看出極限思想為微分學的產生和發展奠定了基礎。

1.2 無窮大，無窮小方法下的極限思想

通過內接正多邊形的面積的極限值求圓的面積，相當于兩個相關的變量，一個變量在另一個變量發生變化的過程中，與另一個已知變量之間的差不斷減小，從而可以通過這個已知量得到相關變量的最終極限值，這個極限值的概念就是“極限”。由此可知極限思想理論就是一個變量和另一個已知量之間的一種無限接近，最終通過這個已知量反映出相關變量的最終極值[1]。

2 極限思想的應用

2.1 一種新研究方法

在對速度的研究過程中，利用極限思想，可以對平均速度的極限值進行研究，從而對瞬時速度的值進行確定。在密度研究過程中也可以依據對密度的極限值進行研究，對密度的極限值進行確定。可見，極限思想在許多方面都有著重要應用，并且其也是力學等其他理工學科的一種重要研究方法。極限思想的確立，促進了數學微積分的進一步發展，為對龐大的分支體系進行研究做鋪墊，從而使分析方法真正成為分析學。

2.2 極限思想為數學微積分的發展奠定了基礎

極限思想是數學微積分中的基本理論，是微積分概念由來的基礎，也是微積分與其他教學不同的一個重要表現。

極限思想需要在微積分教學中全面貫穿，多數學術概念都以極限思想作為基礎。例如，在研究函數過程中對某一點的定義，如果自變量近乎零增長時，此時函數值的增長量也接近于零[2]。

極限思想在一定程度上使分析學的研究面發生了擴大，促進了微積分的發展和完善。例如，在研究過程中，將一般的積分發展為廣義積分。

2.3 在其他學科中的應用

（1）實數系的確立離不開極限思想的支持，極限運算的進行需要在封閉型數域中開展。例如，四則預算的開展就必須要在封閉型數域中開展。極限預算在開展過程中需要完善的數系，這個數系指的就是實數系。實數系由魏爾斯特拉斯邏輯結構組成，這導致了在數學分析中，無論出現何種概念以及極限都能夠利用實數與其基本關系和運算進行精確的表述。以分析學為基礎的邏輯基礎指的是實數系、極限系、微積分三者間的聯系。

（2）概率論中的大部分中心極限定理和定律都是通過極限思想對大量隨機性現象進行研究統計其規律性的。概率論中最著名的一項結果就是中心極限定理，中心極限定理為獨立性隨機變量之和近似率的計算提供了較為簡單的方法，同時也有利于對自然群體自身經驗頻率呈正態分布曲線的原因分析。在對微分討論中，涉及到解的極限值，分析泛函時，其中存在的馬氏鏈是有極限性質的，土體的極限分析，算法中的極限編程理論和經濟學方面的極限趨勢思想等都可以體現出極限思想的應用廣泛性。

3 極限思想在數學教學中的重要作用

3.1 有利于全面落實數學教學思想方法

數學思想方法是數學教學中的主要目標，是促進學生智力發展的關鍵因素，是培養學生創新意識的理論基礎，同時也是教學素養中的重要組成部分。在數學教學過程中，掌握極限思想的含義，充分發揮極限思想的重要作用，能夠促使學生在面對較難的數學問題時可以自主通過極限思想理論進行解讀，有助于學生真正全面的理解和掌握極限思想方法，同時也能夠促進數學課程標準實施時全面落實數學思想方法[3]。

3.2 能夠充分感受和體驗數學的簡潔美

在數學中一個簡單的數字“1”就可以體現出數學的簡潔美。數學的簡潔主要表現在其數學理論體系、表示方法和證明方法等在組成結構上比較簡潔明了。在數學中所有公式都可以用簡潔的語言進行表述和概括，有利于人們的理解掌握。任何證明也都可以通過簡潔的語言進行表達。數學中的各種概念理論之間關系比較清晰明了，結構簡潔。極限思想同樣可以通過幾句簡單的語言就可以進行總結和概括。極限思想在數學教學中的利用不僅可以作為學生的一種解題思路，也可以充分發揮學生的思維能動性。

3.3 有利于提高數學水平

所謂數學水平，指的是學生面對數學問題時利用所學的知識進行解題的一種能力。主要表現在數學的表達能力、抽象思維能力、空間思維與概念深刻程度、廣闊性、閱讀能力、計算能力、邏輯思維能力和敏捷性等方面共同組成的開發動態結構系統。采用極限思想的方法進行數學教學，能夠大大提高學生的數學水平，幫助學習記憶數學公式，解答數學難題，從而提高學生的思維邏輯能力。例如利用極限思想求曲邊梯形的面積，這類問題能夠有效激發學生的興趣[4]。

3.4 提高解決數學問題的能力

在數學教學過程中充分發揮極限思想的重要作用，能夠有效降低數學問題的難度系數，幫助學生理順解題思路，使學生能夠在較短的時間內找到正確的解題方法，能夠取得事半功倍的學習效果。通過對極限思想的掌握和應用，能夠極大地幫助學生解決函數問題、立體幾何問題、不等式問題、平面解析問題、數列問題和定積分問題等多種數學問題。

4 結語

綜上所述，極限是從數量上對相關變量在無限變化過程中的變化趨勢進行描述，在此無限變化過程中對相關變量變化趨勢的考察研究就是極限思想。利用極限思想解決數學問題，能夠有效降低問題的難度，優化學生的解題思路。不僅能夠加深學生對極限思想的理解掌握，培養學生的邏輯思維能力，開闊學生眼界，同時也會使學生的創新能力和創新意識得到提高。在教學過程中重視數學思想方法教學，有利于學生主動、獨立的解決問題，探索新知識，加速推進知識轉化為能力的過程。

參考文獻

[1] 李美華.極限思想及其在數學中的應用[J].科教導刊，2013（36）：44，107.

[2] 袁凌，崔宏亮.高等數學教學中極限思想的辯證思考與理解[J].商情，2011（22）：81.

[3] 董國陽.淺談微積分的起源與發展[J].大觀周刊，2011（39）：91.

[4] 朱永強.高等數學中函數極限計算方法[J].科技風，2010（23）：30-31.endprint