關聯物體問題的求解方法

孫建生

一、關聯物體的速度關系

學生常對該如何分解速度搞不清楚或很難理解，其主要原因是無法弄清楚哪一個是合速度、哪一個是分速度。這里有一個簡單的方法：物體的實際運動速度就是合速度，然后分析這個合速度所產生的實際效果，以確定兩個分速度及分速度的方向。

例1

A、B兩物體通過一根跨過定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現物體A以ν₁的速度向右勻速運動，當繩被拉成與水平面夾角分別是α、β時，如圖1所示。物體B的運動速度ν_B為（繩始終有拉力）（ ）

解析 A、B兩物體通過繩相連接，且兩物體都b是運動的，物體的實際運動速度是合速度，物體的速度都產生了沿繩方向和垂直于繩方向兩個作用效果。設物體B的運動速度為ν_B，此速度為物體B合運動的速度，根據它的實際運動效果，兩分運動分別為：沿繩收縮方向的分運動，設其速度為ν_繩B；垂直繩方向的圓周運動。速度分解如圖2所示，則有：ν_繩B= ν_Bcosβ

物體A的合運動速度為ν₁，它也產生兩個運動效果，分別是：沿繩方向的分運動，設其速度為ν_繩A；垂直繩方向的圓周運動，它的速度分解如圖3所示，則有ν_繩A= ν₁cosα，由于對于同一根繩，其長度不變，故有

選項A、B、C錯誤，

選項D正確。

例2 如圖4所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦，當桿滑到如圖5位置時，B球水平速度為ν_B，桿與豎直方向的夾角為α，求此時A球速度大小。

解析 A、B兩球速度分解如圖5所示，A球沿桿方向的分速度與B球沿桿方向的分速度大小相等，即：

例3 如圖6所示，一根長為L的輕桿0A，0端用鉸鏈固定，另一端固定著一個小球A，輕桿靠在一個高為的物塊上。若物塊與地面摩擦不計，則當物塊以速度^向右運動至桿與水平方向夾角為θ時，物塊與輕桿的接觸點為B，下列說法正確的是（ ）

A.A、B的線速度相同

B. A、B的角速度相同

C.輕桿轉動的角速度為

D.小球A的線速度大小為

解析 如圖7所示，根據運動的合成與分解可知，接觸點B的實際運動為合運動，可將B點運動的速度化

二、與能量相關的關聯同題

例4 如圖8所示，豎直放置的大圓環圓心為0，半徑為R，質量為m的小球A套在大圓環上，有一足夠長的細輕繩拴在A上，另一端跨過固定在大圓環最高點C處的一個小滑輪后吊著一個小球B，不計滑輪半徑和質量、不計繩子的質量，不計一切摩擦，繩子不可伸長。平衡時弦CA所對的圓心角θ=30°。求：

（1）小球B質量m_B；

（2）若m_B=m，將小球A從圓心0的等高點D靜止釋放后小球A、B軌道稍微錯開互不影響，求小球A的最大速度。（可含根式）

解析 （1）小球B處于平衡狀態，繩子對小球B的拉力等于小球B的重力，繩子的拉力為

小球A處于平衡狀態，受到三個力的作用，由平衡條件可得，繩子的拉力為：

，聯立解得：

（2）4到達最低點時為速度最大設為

例5如圖9所示，在距水平地面高為0.4m處，水平固定一根長直光滑桿，桿上P處固定一定滑輪（大小不計），滑輪可繞水平軸無摩檫轉動，在P點的右邊，桿上套一質量zn=3kg的滑塊A.半徑R=0.3m的光滑半圓形軌道豎直地固定在地面上，其圓心0在P點的正下方，在軌道上套有一質量m=3kg的小球B.用一條不可伸長的柔軟細繩，通過定滑輪將兩小球連接起來。桿和半圓形軌道在同一豎直面內，滑塊和小球均可看作質點，且不計滑輪大小的影響。現給滑塊A施加一個水平向右、大小為60N的恒力F，求：

（1）把小球B從地面拉到半圓形軌道頂點C的過程中力F做的功；

（2）小球B運動到C處時所受的向心力的大小；

（3）小球B被拉到離地多高時滑塊A與小球B的速度大小相等？

解析 （1）由幾何關系可得：

代入數據聯立解得：W=24J

（2）由于B球到達C處時，已無沿繩的分速度，所以此時滑塊4的速度為零，兩球及繩子組成的系統的能量變化過程中，由能量守恒定律可得：

，代人數據聯立

解得：

例6 如圖10所示，兩根長直軌道與一半徑為R的半圓形圓弧軌道相接于A、C兩點，B點為軌道最低點，0為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內。質量均為m的兩小環P、Q用長為及√2R的輕桿連接在一起，套在軌道上。將MN兩環從距離地面2R處由靜止釋放，整個過程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：

（1）當P環運動到B點時，系統減少的重力勢能△E_P；

（2）當P環運動到B點時的速度ν；

（3）在運動過程中，環能達到的最大速度ν_m；

（4）若將桿換成長2√2R，P環仍從原處由靜止釋放，經過半圓形底部再次上升后，P環能達到的最大高度H。

解析 （1）P環從開始運動到運動到B點過程中，系統減少的重力勢能為

在解決關聯物體的問題時，首先要清楚物體間是通過繩、桿關聯還是直接接觸的，找到兩物體在運動過程中速度存在的關系，分析物體實際運動的方向，然后分析這個合運動所產生的實際效果，在繩和桿不伸長的情況下，兩物體沿繩或桿方向的分速度大小相同。endprint