把準(zhǔn)聯(lián)系與區(qū)別 細(xì)斟慎選穩(wěn)解題

梁燕

古典概型與幾何概型是兩種重要的概率模型，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.熟練理解和區(qū)分兩種概率模型，準(zhǔn)確劃分基本事件，是有效解決概率問(wèn)題的前提.

一、分清概型——有限無(wú)限是關(guān)鍵

古典概型與幾何概型的基本事件的發(fā)生都是等可能的，但古典概型的基本事件是有限個(gè)，而幾何概型的基本事件是無(wú)窮多個(gè).比如“從區(qū)間[0，6]中任取一個(gè)整數(shù)，求它與1的和小于4的概率”，由于在[O，6]中任取一個(gè)整數(shù)，有0，1，2，3，4，5，6，共7種取法，基本事件個(gè)數(shù)有限，是古典概型.若把問(wèn)題改為“從區(qū)間[0，6]中任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求它與1的和小于4的概率”，則基本事件就有無(wú)數(shù)多個(gè)，是一個(gè)幾何概型.義如“從區(qū)間[0，6]中隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，求這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和大于8的概率”，也是一個(gè)幾何概型.

二、古典概型——基本事件細(xì)斟酌

古典概型是有限個(gè)等可能事件構(gòu)成的概率模型，我們把這樣的事件稱為基本事件，也就是說(shuō)，基本事件是在一次試驗(yàn)中可能m現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果，并且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性必須是相同的.求古典概型問(wèn)題的概率，我們首先需要確定總的基本事件個(gè)數(shù)，記做m，再確定滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，記做n，最后用古典概型概率公式P（A）一旦求出概率即可.這里的關(guān)鍵是需要細(xì)細(xì)斟酌每一個(gè)基本事件是否都是等可能的，只有是等可能的才能使用這一公式.因此，基本事件的判斷是解題的第一步也是最重要的一步.

例1 同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是多少？

有同學(xué)說(shuō)，這很簡(jiǎn)單，既然求兩枚均勻的骰子的點(diǎn)數(shù)之和的概率，點(diǎn)數(shù)之和的范圍是2～12，那么基本事件是2，3，4，5，…，12，共11個(gè).對(duì)不對(duì)呢？仔細(xì)考慮一下，會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為2時(shí)只有（1，1）這一種情況，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為3時(shí)可以是（1，2），（2，1）這兩種情況，顯然剛才那位同學(xué)所認(rèn)為的基本事件中“2”和“3”這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性是不相同的.

還有一種想法，認(rèn)為基本事件是：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）

（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）

（4，4）（4，5）（4，6）

（5，5）（5，6）

（6，6）

共21個(gè)，其中第一個(gè)數(shù)表示第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，第二個(gè)數(shù)表示第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù).而在這種情況下，如（2，1）的情況就并未被考慮進(jìn)來(lái).這種做法也不可行，因?yàn)樗鼪]有包含這一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果.

可見，在涉及連續(xù)拋擲兩次和將兩枚骰子拋擲一次的問(wèn)題中，（a，b）是一個(gè)有序整數(shù)對(duì)，因此出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為（a，b）與（b，a）是兩種不同的情況，應(yīng)作為兩個(gè)基本事件，如此才能使基本事件等可能，綜上，先后擲兩次，向上的點(diǎn)數(shù)記作（a，b），列舉如下：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）

（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）

（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）

（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）

（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）

共36個(gè)基本事件.將“向上的點(diǎn)數(shù)和為6”記為事件A，則A中所含的基本事件為（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5個(gè)，故P（A）=5/36.

看來(lái)解古典概型題最重要的就是找對(duì)基本事件，慎重對(duì)待基本事件的等可能性.

那么一個(gè)實(shí)驗(yàn)是不是只有一種基本事件的情況呢？比如“投擲一枚均勻的骰子一次，求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率”，基本事件可以是{1，2，3，4，5，6），也可以是{奇數(shù)，偶數(shù)}，無(wú)論哪種選擇都符合基本事件的特征，即包含了每一種可能以及等可能性.在解答某些復(fù)雜的古典概型時(shí)，換一種看待基本事件的角度說(shuō)不定可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

三、幾何概型——測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)慎選擇

幾何概型是無(wú)限個(gè)等可能事件構(gòu)成的概率模型，求幾何概型問(wèn)題的概率，我們首先需要算jLI_：全部結(jié)果對(duì)應(yīng)的區(qū)域D的測(cè)度，還有滿足條件的區(qū)域d的測(cè)度，利用公式P（A）=d的測(cè)度/D的測(cè)度求出概率.幾何概型問(wèn)題的概率不僅與D的測(cè)度有關(guān)，也與d的測(cè)度有關(guān)，測(cè)度可以是長(zhǎng)度、面積、體積等，因此測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)的選擇是個(gè)難點(diǎn)，需慎重.例2 在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在/ABC內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M（如圖1），求AM

由于在∠ABC內(nèi)部任作一條射線CM可作無(wú)數(shù)多條，因此這是一道幾何概型問(wèn)題，點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，那總的基本事件的測(cè)度會(huì)不會(huì)是線段AB的長(zhǎng)度呢？判斷的依據(jù)就是看此時(shí)基本事件是否等可能，也就是說(shuō)，在這里應(yīng)視射線CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的（直觀的感覺是分布均勻），若以線段BA的長(zhǎng)度為測(cè)度，當(dāng)點(diǎn)M在AB上均勻分布時(shí)對(duì)應(yīng)的射線CM分布并不均勻，所以不能把AB的長(zhǎng)度作為基本事件的測(cè)度.在AB上截取AN=AC，則∠ACN=67.5。（如圖2），滿足條件AM

可見，在解決幾何概型問(wèn)題時(shí)，必須搞清楚測(cè)度，其關(guān)鍵還是要保證基本事件的等可能性.

回到我們前面的問(wèn)題：

問(wèn)題1 從區(qū)間[o，6]中任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求它與1的和小于4的概率.

問(wèn)題2 從區(qū)間[0，6]中隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，求這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和大于8的概率.

問(wèn)題1中，區(qū)間[O，6]中的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，沒有辦法列舉出到底有多少個(gè)基本事件，聯(lián)想到可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示實(shí)數(shù)，因此可以借助數(shù)軸的一段（線段AB，其長(zhǎng)度為6）上的所有點(diǎn)來(lái)表示區(qū)間[0，6]中的所有實(shí)數(shù)，從而選用線段的長(zhǎng)度作為測(cè)度.記“從[O，6]中任取一個(gè)數(shù)與1的和小于4”為事件A，由于所取的數(shù)x要滿足x+1<4，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C應(yīng)該在線段AD（其長(zhǎng)度為3）內(nèi)，則事件A所包含的所有基本事件可以用線段AD的長(zhǎng)度來(lái)表示（如圖3），所以，P（A）==3/6=1/2

問(wèn)題2中，在區(qū)間[O，6]中隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)可聯(lián)想有序數(shù)對(duì)（x，y），借助平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示（如圖4中正方形區(qū)域），記“從[0，6]中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，這兩數(shù)之和大于8”為事件B，由圖可知事件B所包含的基本事件個(gè)數(shù)可用圖中陰影部分的面積來(lái)表示，則應(yīng)滿足P（B）=S陰影/S正方形=8/36=2/9

同學(xué)們，只要我們能準(zhǔn)確把握古典概型和幾何概型兩類概型的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系，能找準(zhǔn)古典概型的基本事件和幾何概型的測(cè)度，這兩類概率問(wèn)題將會(huì)迎刃而解！