想法合理 解讀自然

徐愛勇

所謂“通性通法”是指解決具有相同性質數學問題所用的通用方法，是數學思想和數學方法在解決數學問題中的集中體現.

下面舉例說明在解題過程中，以“通性通法”為出發點，使我們保持自然流暢的思維，自覺做到主動反思，從而能夠尋求問題的最優解決策略.

1.“代數”與“幾何”的自然

案例1 對于任意的實數k，關于x的方程x²-5x+4=k（x-a）恒有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍.

分析 本題普遍流行的解法是利用數形結合和化歸思想，把該方程解的個數轉化為圖象的交點個數來研究.具體解法如下：

考慮函數y=x²-5x+4與y=k（x-a）的圖象，根據題意，可得如圖1所示的位置，則1

再分析 其實不少同學腦海里第一反應的思路并不是數形結合法，而是直接研究方程.由于該方程中字母較多，容易導致大家“半途而廢”.俗話說，堅持到底就是勝利！只要我們稍加觀察所得判別式不等式的特征，就不難得到下面的解法：

因為x²-5x+4=k（x-a），所以x²（k+5）x+4+ka=0，

又因為關于x的方程有兩個不相等的實根，

所以△=（k+5）²-4（4+ka）>o，即k²+（10-4a）k+9>0.即對于任意的實數k，上式恒成立.則△'=（10-4a）²-4×9<0，則1

反思 同學們在解題過程中要有足夠的自信，不能夠束縛自己的思維，剝奪自主創造的空間.其實，數學解題的過程也可以分為三重境界：“溫飽（會做）”、“小康（多解）”、“富裕（優化）”.而這三個步驟的順序一般情況下是不可以跳躍的，也要順其自然地發展.

2.“正面”與“反面”的自然

案例2 已知f（x）= -1/2x²2+x，是否存在實數m，n（m

分析 這道題屬于一元二次函數在閉區間上的最值問題，這類問題的常規解法，按照區間[m，n]與對稱軸的位置關系分類討論求解.

解 因為f（x）=-1/2x²2+x的對稱軸為x=1，則

（1）當m2+4m=0，n²+4n=0，m=-4，n=0

（2）當mmax=f（1）=1/2，由題意得3n=1/2，則n=1/6，這與m

（3）當1≤m2-2m+6n=0，n²-2n+6m=0，得m=n或-4，這與

綜合（1）（2）（3）得，滿足條件的實數m，，n存在，且m=-4，n=0.

再分析 其實，我們通常所說的先審題再下筆，目的就在于更好地尋找思維的切人點，合適的切人點必然能夠導致思維的自然流暢，有利于思維完整的延續，這顯然是解題過程中十分重要的一個環節.

鑒于此，我們會有以下幾個思考問題串：

（1）由解法可知m=-4，n=0確定的區間[-4，O]恰好是f（x）的單調遞增區間，而（2）（3）兩種情形均無解，有這么巧嗎？

（2）如果“[3m，3n]”改為“[4m，4n]”，其余條件不變，結果義如何呢？

（3）如何證明f（x）在區間[m，n]上為單調增函數呢？

反思 從某種程度上來說，許多數學問題的價值意義不單單在于解完后如何變化拓展，更重要的應該在解題過程中能夠自然而然地產生一些思維的深化和延伸，而如何加強各個條件的關聯與相互滲透，尋找最自然地思維切人顯然是至關重要的.

3.“直接”與“間接”的自然

案例3 已知函數f（x）=x²+x-a，若y=f（x）在區間（1，1）內有零點，求實數a的取值范圍.

分析 本題不少同學會有這樣“直接”

反思 單墫教授曾經說過，“沒有技巧就是最好的技巧.”而我們在平時的解題過程中，似乎更青睞一些“高超技巧”，傾向于把一些簡單的內容講得復雜些，好像不這樣就不能顯示解題水平.長此以往，這直接導致我們對一些基本概念、基本方法不能充分掌握.現在，舉國上下都在提倡“減負增效”，而在數學解題過程中，做有用、有效、有意義的練習，是實現這一目標的有力抓手.