何以避重就輕

曲婷

課本題1：已知點P（x，y）在直線x+y4=0上，O是坐標原點，求OP的最小值.

思路1 利用坐標建立目標函數，從而轉化為函數的方法解決有關問題，這是解析幾何中很常見的方法，但是因為坐標表示的需要，目標函數的建立本身存在兩個變量，所以消元是必不可少的過程.其運算量大小姑且不談，有時遇到一些復雜的函數，不便于消元，以致不便于通過函數的方法解決問題，這將使得利用代數方法直接計算的思路難以奏效.

思路2 從題目中挖掘其幾何意義，再利用代數運算的方法解題，便可大大降低運算量，也可以避免思路1難以奏效的可能.這是數形結合的數學思想方法，其中，幾何特征的發掘是該方法的一個難點.

課本題2：已知M（ 1，3），N（6，2），點P在x軸上，求使PM+PN最小時點P的坐標.

根據上面的分析，本題同樣可通過兩種思路來處理：

得到關于x的目標函數，接下來怎么處理函數最值的問題呢？兩邊同時平方，還是有根號，再次兩邊平方，好像更加繁瑣了；即使利用以后將要學習的導數法判斷函數的單調性，還是相當繁瑣的.上述思路，可以說是理論上可行，實際操作有困難.

思路2 如圖1所示，根據題意，問題就是求兩個線段之和的最小值，自然會考慮到兩點之間線段最短，如何把折線長轉化為線段長？如圖2所示，可以通過作點M的對稱點M'，從而可以得到PM +PN=PM'+PN≥M'N，此時線段M'N與x軸的交點即為所求.并且求P點坐標的方法也有兩個思路，一是求直線M'N的直線方程，再令y=0；二是利用M'P與PN的斜率相等建立方程.這實際上也是對代數方法和幾何方法的一種選擇.具體過程略，答案為（16/5，0）.

顯然，這個題目利用思路1解答很困難，利用思路2則可以很快地解決問題.可見，充分利用幾何性質解解析幾何問題是很有必要的，其中數形結合、函數與方程等數學思想，在其中起到很重要的作用.

3.學以致用

如何有效地通過幾何特征和幾何性質進行轉化，從而避免繁瑣的代數計算，達到高效解題的目的呢？下面，我們再通過幾個例子，進一步體會幾何性質在解析幾何中的重要應用.

例1 原點0到動直線Z：（m+1）x+（m+2）y+2=O的最大距離為_____ .

例2 設M是圓（x-5）²+（y-3）²=9上的點，N是直線3x+4y-2=0上的點，則MN的最小值是_____.

解析 從幾何特征上看，直線到網上的點的距離問題，最終可以化歸為點到直線的距離問題，因此MN的最小值就可以通過圓心到直線的距離，再減去半徑來進行求解.答案為2.

總之，解析幾何中與直線和圓有關的最值或者范圍問題的求解，大多可以通過其幾何性質建立函數或者不等式關系，從而減少化簡和運算的T作量.如果能夠很好地運用數形結合的數學思想，探索發現其具有代表性的幾何性質，再舉一反三，融會貫通，類似問題便可迎刃而解，長此以往，就可以達到“避重就輕”、高效解題的目的.endprint