基于“四基”的“字母表示數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

黃翠萍 李昌勇

[摘? 要] 學(xué)生應(yīng)“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”. 本文借助“字母表示數(shù)”，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程中，感悟數(shù)學(xué)思想方法，累積數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 四基;數(shù)學(xué)思想;活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);數(shù)學(xué)活動(dòng)

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》首次明確地將“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”納入課程目標(biāo)范圍內(nèi);《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）將以前的“雙基”擴(kuò)展為現(xiàn)在的“四基”，即在“基礎(chǔ)知識(shí)”“基本技能”的基礎(chǔ)上添加了“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.

長期以來，“雙基”一直是我國基礎(chǔ)教育關(guān)注的核心，在此基礎(chǔ)上，教育工作者們應(yīng)該如何正確地認(rèn)識(shí)“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，怎樣將其融入日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中呢？筆者在此以北師大2013年版數(shù)學(xué)教材的七年級(jí)第三章第一節(jié)“字母表示數(shù)”這一教學(xué)案例為載體，探討如何在日常教學(xué)中滲透“四基”，深度挖掘教材的基本思想，靈活、科學(xué)地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，從而獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

“四基”概念

1. 數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能

數(shù)學(xué)的基本知識(shí)包括概念、法則、性質(zhì)、定理、公理等;數(shù)學(xué)的基本技能包括計(jì)算、推理、做題等.

2. 數(shù)學(xué)的基本思想

史寧中教授給出了數(shù)學(xué)思想的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，一是數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的思想;二是數(shù)學(xué)思想是學(xué)過數(shù)學(xué)和沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人在思維上的根本差異. 還提出數(shù)學(xué)思想有三個(gè)最本質(zhì)的特征：抽象、推理、模型.

3. 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

張奠宙教授在《“數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)”的界定與分類》中寫道：“所謂基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指導(dǎo)下，通過對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí). 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的累積過程是學(xué)生主動(dòng)探索的過程. ”

張奠宙教授也提出了四基的基礎(chǔ)模型是建立在一個(gè)三維的模塊之上的，在第一個(gè)維度上面主要是積累數(shù)學(xué)知識(shí)，第二個(gè)維度上面主要是基本技能的學(xué)習(xí)和演練，第三個(gè)維度上面主要是形成數(shù)學(xué)思想方法的過程，還剩下的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不屬于任何一個(gè)維度，它是這三個(gè)維度的調(diào)和劑，可以將三個(gè)維度緊密聯(lián)系在一起. 所以在教學(xué)過程中，主要是通過數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生習(xí)得一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法.

“字母表示數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. “字母表示數(shù)”在教材中的地位

？搖“字母表示數(shù)”是整個(gè)初中代數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，是學(xué)生從具體的數(shù)字運(yùn)算過渡到代數(shù)的抽象運(yùn)算的一個(gè)重要橋梁，標(biāo)志著學(xué)生從算數(shù)思維轉(zhuǎn)變到代數(shù)思維. 數(shù)是無窮舉的，需要同學(xué)們理解字母表示數(shù)的抽象概括的過程，所以代數(shù)思維最主要的就是一般化. 此后，學(xué)生才能通過抽象概括來表示數(shù)學(xué)中一些可描述性的定律、定理等，體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性與概括性，建立學(xué)習(xí)函數(shù)所需要的基本思想.

2. “字母表示數(shù)”的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

這節(jié)課的重點(diǎn)主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用字母表示數(shù)和表示一些簡單的數(shù)量關(guān)系;教學(xué)難點(diǎn)是根據(jù)不同的情況賦予字母不同的意義，能夠探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.

所以在教學(xué)過程中，學(xué)生需要理解的內(nèi)容包括：

（1）字母到底代替了什么？

（2）給一個(gè)抽象的字母以特定的含義，怎樣用它來描述我們的法則和規(guī)律？

（3）在不同的場景下，同樣的字母是否表示相同的意義？

3. 四基觀點(diǎn)下“字母表示數(shù)”的教學(xué)構(gòu)成

張奠宙教授提出了四基數(shù)學(xué)教學(xué)模塊，在概念型綜合模塊中給出四基呈現(xiàn)的順序是：基本知識(shí)的掌握→練習(xí)獲得基本技能→通過反思獲得基本思想方法→積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在這整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，主要是借助數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想方法.

本節(jié)課主要設(shè)計(jì)了四個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，四個(gè)活動(dòng)呈遞進(jìn)式的關(guān)系，如圖2，活動(dòng)1是復(fù)習(xí)鞏固學(xué)生之前的基礎(chǔ)知識(shí);活動(dòng)2是在活動(dòng)1的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)推理等基本技能，滲透符號(hào)化思想和模型思想;活動(dòng)3在前兩個(gè)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，復(fù)習(xí)鞏固基本知識(shí)和基本技能，同時(shí)累積遞推和化歸思想;活動(dòng)4具有一定的難度，是為了加強(qiáng)基本技能的學(xué)習(xí)，升華基本思想方法.

4. “字母表示數(shù)”教學(xué)片段

活動(dòng)一：圖3是用棋子擺成的圖形. 擺第10個(gè)圖形需要多少枚棋子？擺第n個(gè)圖形呢？你是如何得到的？

師：我們想一想，n可以表示哪些數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖? 對(duì)于學(xué)生來說，如何從數(shù)是具體的可數(shù)的，過渡到用字母表示的數(shù)是抽象的、可變的，這是學(xué)生在認(rèn)識(shí)上的一個(gè)質(zhì)的飛躍，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)本章時(shí)的一個(gè)難點(diǎn). 本次活動(dòng)從最簡單的找規(guī)律出發(fā)，能夠讓學(xué)生在原有的基礎(chǔ)知識(shí)上完成這個(gè)活動(dòng)，不僅充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，同時(shí)在活動(dòng)中滲透：同一個(gè)字母可以表示任意的、可變的數(shù). 而且通過讓學(xué)生自己舉例，說明n可以表示的數(shù)字，加深學(xué)生在活動(dòng)中的體會(huì).

活動(dòng)二：圖4是用棋子擺成的圖形.

①按照如圖所示的方式，搭第2個(gè)圖形需要（? ? ? ）個(gè)棋子，搭第3個(gè)圖形需要（? ? ? ）個(gè)棋子.

②搭第10個(gè)這樣的圖形需要多少個(gè)棋子？

③搭第100個(gè)這樣的圖形需要多少個(gè)棋子？你是怎樣得到的？

④如果用n表示所搭的圖形數(shù)，那么搭第n個(gè)這樣的圖形需要多少個(gè)棋子？與同伴進(jìn)行交流.

⑤假設(shè)第n個(gè)圖形由T個(gè)棋子組成，那么第n+1個(gè)圖形應(yīng)該由幾個(gè)棋子組成呢？

生1：第n個(gè)圖形由n排棋子組成，第一排有1個(gè)棋子，第二排有2個(gè)棋子，第3排有3個(gè)棋子……依次類推，直到第n排有n個(gè)棋子，所以總共的棋子數(shù)是1+2+3+……+（n-1）+n.

生2：第1個(gè)圖形需要1個(gè)，第2個(gè)圖形需要3個(gè)，第3個(gè)圖形需要6個(gè)，依次類推，第10個(gè)圖形需要55個(gè);第n個(gè)圖形是在n-1個(gè)圖形的總棋子數(shù)上再加n個(gè)棋子.

生3：因?yàn)榈趎+1個(gè)圖形是在第n個(gè)圖形上再加n+1個(gè)，所以第n+1個(gè)圖形的棋子數(shù)為T_n+n+1.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生能夠由第一個(gè)活動(dòng)聯(lián)想到每個(gè)圖形都是在前一個(gè)圖形上面進(jìn)行增加 ，擁有一定的遞推思想，能夠自己進(jìn)行簡單的推理. 在本活動(dòng)中，學(xué)生通過老師的引導(dǎo)，能夠體會(huì)化歸的思想，發(fā)現(xiàn)棋子排列的規(guī)律. 只是學(xué)生描述這個(gè)規(guī)律的語言會(huì)比較冗雜，不夠精練，使用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來描述結(jié)果和答案是很困難的. 在解決這個(gè)問題的過程中，學(xué)生能夠充分體會(huì)到用字母來表示數(shù)及規(guī)律的作用和必要性.

史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)的基本思想就是“演繹”和“歸納”，在本次活動(dòng)中，老師需要引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行一定的探索，利用遞推思想，通過歸納總結(jié)得到第n個(gè)圖形總共需要的棋子數(shù)，同時(shí)根據(jù)最后一個(gè)問題進(jìn)行簡單的驗(yàn)算，給學(xué)生滲透方程的思想.

活動(dòng)三：如圖5，第一個(gè)圖形，搭一個(gè)正方形需要四根火柴棍，依次按圖搭建下去，如果用x表示所搭正方形的個(gè)數(shù)，那么搭x個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棍？與同伴進(jìn)行交流.

師：同學(xué)們可以分享一下你們的做法嗎？

生1：我們可以將第一個(gè)正方形左邊的火柴棍單獨(dú)放置，后面所有的正方形都是由3根火柴棍組成的，所以得到總的火柴棍數(shù)量是3x+1.

生2：只有第一個(gè)正方形是由四根火柴棍組成的，后面的正方形都是由3根火柴棍組成的，所以得到總的火柴棍數(shù)量是4+（x-1）×3.

生3：因?yàn)檎叫味际怯伤母鸩窆鹘M成的，只是組合在一起的時(shí)候，中間的兩根就重合成了一根，所以得到總的火柴棍的數(shù)量是4x-（x-1）×1.

生4：因?yàn)檎麄€(gè)圖形的火柴棍擺放都分成3個(gè)部分，橫著的兩條線和豎著的一條線，所以得到總的火柴棍的數(shù)量是x+x+（x+1）.

師：我們現(xiàn)在已經(jīng)得出了四種方法，那同學(xué)們可以思考下，這四種方法得到的結(jié)果都是正確的嗎？我們怎么來確認(rèn)方法的正確性呢？

同學(xué)們可以在一定程度上理解四個(gè)式子的由來，只是不能判斷式子的正確性，老師可以引導(dǎo)同學(xué)們代入不同x的值進(jìn)行驗(yàn)算，看所有式子的答案是否相同.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生在這個(gè)活動(dòng)中需要進(jìn)行觀察、猜測、推理、驗(yàn)證，在圖形的生成上，學(xué)生既要進(jìn)行“橫”的考慮，也要進(jìn)行“豎”的考慮. 通過之前的活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)具備了從特殊的問題中歸納出一般性結(jié)論的能力，在本次活動(dòng)后，希望學(xué)生能夠得到從一般性結(jié)論中求出更加復(fù)雜的特殊性問題的技能.

活動(dòng)四：搭一個(gè)正方形需要四根火柴棍，將正方形按照?qǐng)D6的規(guī)律進(jìn)行搭建.

①第n+1個(gè)圖形需要的火柴棍數(shù)量比第n個(gè)圖形需要的火柴棍數(shù)量多多少？

②第6個(gè)圖形所需要的火柴棍數(shù)量是多少？

③第20個(gè)圖形需要的火柴棍的數(shù)量是多少？

④思考題：第n個(gè)圖形需要多少根火柴棍？

生1：從圖上可以看出來，第n+1個(gè)圖形是在第n個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了兩種火柴棍，一種豎的，一種橫的，橫的多出來的是2+（2n-1），豎的多出來的是2n，一共多出來的就是2+（2n-1）+2n根火柴棍.

設(shè)計(jì)意圖? 這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生在回答了問題①的基礎(chǔ)上，能夠理解這個(gè)圖形的生成過程，利用遞推的思想可以完成問題②和③，且在完成思考題的基礎(chǔ)上能夠驗(yàn)算之前的答案. 第四個(gè)活動(dòng)是對(duì)前面三個(gè)活動(dòng)的一個(gè)升華，在這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生不僅需要應(yīng)用遞推和化歸的思想，還可以體會(huì)最基本的數(shù)學(xué)思想方法：演繹和歸納. 也能夠?qū)⒒局R(shí)進(jìn)行升華：字母在不同環(huán)境中表示的數(shù)的意義是不一樣的，而且能夠用來表達(dá)我們的定理法則以及規(guī)律. 升華探索規(guī)律的基本技能，能為之后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 同時(shí)這個(gè)活動(dòng)也將推理能力和模型思想進(jìn)行提升，學(xué)生在找規(guī)律的過程中從不同角度出發(fā)，這才真正體會(huì)到了本節(jié)課的本質(zhì)：含有字母的式子不僅僅可以表示數(shù)量，同時(shí)還可以表示一種數(shù)量關(guān)系.

總結(jié)

以上四個(gè)活動(dòng)，只有第三個(gè)活動(dòng)是教材上已有的案例，在深刻解讀教材之后，筆者根據(jù)“字母表示數(shù)”在教材中的地位，重新整合案例，按照活動(dòng)難度從淺到深進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在探索過程中體會(huì)從特殊到一般、從具體問題抽象出數(shù)學(xué)思想.

學(xué)生通過以上四個(gè)活動(dòng)，可以經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題——總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法”的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 老師在引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，需要讓學(xué)生主動(dòng)參與到活動(dòng)中來，在自主探究的過程中進(jìn)行推理，體會(huì)遞推、化歸的思想. 同時(shí)需要深度挖掘教材，依據(jù)教材進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生不僅能提升知識(shí)、鍛煉技能，還能體會(huì)數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 只是什么樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)才是有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，怎樣安排數(shù)學(xué)活動(dòng)，則需要老師不斷對(duì)教材進(jìn)行挖掘，根據(jù)實(shí)際情況做具體安排.