活動探究構模型，符號詮釋透思想

陸 兵

[摘? 要] 教學“平方差公式”時，應高度重視方案設計，引導學生正確認識公式，并掌握公式. 同時，應在教學中滲透數學思想方法，提升學生的思維能力. 本文從活動設計、探究過程、公式符號和思想滲透四個層面思考其教學.

[關鍵詞] 乘法公式;活動;模型;思想;符號

乘法公式是在多項式乘法基礎上，由一般到特殊總結出的公式，其作為蘇科版七年級下冊的重要內容，教學中需要學生不僅掌握公式的具體內容，還要掌握公式的推導過程，并能靈活運用公式解決問題. 這就需要教師充分研讀教材，合理處理教學難點，制定科學的教學方案. 下面以第2課時的“平方差公式”為例，展開教學思考.

關注教學的活動設計

“平方差公式”作為重要的乘法公式之一，教學的關鍵在于如何使學生充分參與教學，并充分探究公式，逐步理解公式. 如果采用傳統的記憶訓練教學模式，它雖然也可以使學生掌握公式，但顯然學生的積極性不會高，教學效果也不會好，難以形成互動的教學氛圍. 考慮到平方差公式是一類規律性公式，且知識源于具體的情境，因此，教學“平方差公式”時可以采用活動探究的方式——引導學生發現規律，提出猜想，證明公式，形成認識.

采用活動探究的方式教學“平方差公式”時，需要合理地編排教學環節，設計豐富的教學素材，提升學生參與度的同時引導學生主動思考. 可以按照如下流程來實施教學：情境引入，問題給出→活動探究，構建模型→自主認識，形成公式→合作討論，強化理解. 在第一環節的引入階段，可以設計具體的問題情境，也可以結合富有歷史文化感的問題，從問題中引出公式左邊相乘的形式，引導學生發現其中的數式規律，激發學生思考. 接著，在第二環節設計圖形面積探究活動，借助圖形的直觀性來呈現公式的證明過程，使學生從“數”與“形”的角度完成公式的辨析. 而在探究的第三環節，則需要引導學生自主思考，總結平方差公式的結構特點和表示方法，完成理解性記憶. 在最后的強化階段，則十分有必要設計一些公式變形類試題，讓學生在討論中完成解答，從中積累經驗，完成對公式的強化運用.

重視模型的構建過程

平方差公式是在多項式乘法基礎上總結出的規律性公式，雖然屬于單純的代數公式，但如果僅采用代數變換的方式來完成教學證明，學生仍然難以理解. 考慮到學生的認知能力，結合數式的證明方式，可從數形結合角度來完成公式的證明，即構建直觀的模型，從模型中衍生出公式，從而證明公式.

平方差公式的證明可以借助幾何的面積模型，通過求解面積的不同方式來完成. 教學中可以從現實的問題中抽象出模型，如給出問題：已知邊長為a的正方形綠化坪，由于道路設計要求，需要將它的一邊減小b米（b<a），另一邊增加b米，試分析綠化坪變化后的面積. 此時需要引導學生構建面積模型，如圖1所示，其中①為變化前的正方形——邊長為a，而變化后的圖形為長方形，相鄰兩邊的長分別為a+b和a-b，如圖1中的②. 學生很容易利用長方形的面積公式得出變化后的綠化坪面積為（a+b）（a-b），此時需要進一步讓學生分析兩個圖形之間的面積差異，即在同一個圖形中表示出圖形的變化，如圖2. 學生很容易發現，如果將長方形右側部分移到圖形的下方，則圖形由正方形變為長方形后，面積減少了右下角一個邊長為b的小正方形，即變化后的圖形面積為a2-b2. 結合長方形面積的唯一性可得（a+b）（a-b）=a²-b²，于是我們利用圖形完成了平方差公式的幾何證明.

在構建證明模型階段，也可以進一步采用剪紙的方式，引導學生通過動手操作，親身體驗證明過程. 可讓學生準備一張邊長為a的正方形紙片，然后按照圖3所示的方法剪去一個邊長為b的小正方形（b<a），讓學生思考如何計算剪去后剩余部分的面積，引導學生采用拼接的方式（如圖4）將剩余部分拼成新的長方形，分析其相鄰兩邊的長度，從而獲得面積關系. 學生根據圖3的剪紙過程很容易得出剪去后剩余部分圖形的面積為a2-b2，而對于圖4，首先應引導學生分析兩個梯形的底和高，即底分別為a和b，高為a-b，然后分析組合為長方形后長方形的長和寬，即長為a+b，寬為a-b，再利用面積公式得出拼成的長方形的面積為（a+b）（a-b）. 在此基礎上，引導學生分析圖形之間的面積關系，從而得出（a+b）（a-b）=a²-b²，完成對公式的證明. 學生在動手操作的過程中更能產生深刻的認識，更能理解公式.

強化學生的符號意識

教學“平方差公式”時，較為重要的一個環節是使學生充分認識公式的結構特點，學會用數學語言描述公式，擺脫機械的模仿. 該環節除了使學生掌握公式外，還兼具強化學生符號意識的目的，且后者才是公式規律總結的意義所在.

進行公式的規律總結時，可以采用多種方式，可先引導學生利用平方差公式的內容完成圖5問題的填空——圖中將平方差公式左側部分用具體的文字、圖形和字母進行替換，學生在分析過程中很容易得出兩數之差和兩數之和相乘的公式特征. 然后，在第二環節給出具體的平方差公式——（a+b）（a-b）=a²-b²，引導學生分析公式中字母a和b所表示的具體含義，得出a表示符號相同的整式，b表示符號相反的整式，從而使學生理解公式內容的廣泛意義. 而在最后階段，則需要學生在充分認識公式結構特征的基礎上，用文字語言和符號語言來進行概括，充分理解公式的本質屬性，從“代數和”與“代數差”的角度完成對公式的認識.

利用數學語言和文字語言對平方差公式的結構特征進行總結和規律概括，是幫助學生認識公式、靈活運用公式的重要手段，尤其在后續解決一些平方差變式問題時，需要學生利用對公式的特征理解來完成變通求解，而不拘泥于公式的固定形式. 同時，在對公式進行語言描述的過程中，可以培養學生條理表達的能力，提升其數學素養.

注重思想方法的滲透

平方差公式以及后續的完全平方公式等乘法公式，均是在多項式乘法運算基礎上進行的知識總結，而對于公式的總結過程和證明過程，其背后均蘊含著豐富的思想方法，即公式的形成是在數學思想的指導下完成的，因此在教學中十分有必要結合具體的內容完成數學思想的本質揭露.

平方差公式的形成背后蘊含著數學從一般到特殊的思想，因此在教學的初始階段以及最終的應用階段，有必要給出一系列的平方差問題，使學生從一般的數式運算中總結特殊的規律，并利用特殊的規律完成一般問題的求解，實現規律的總結與應用，并獲得規律形成的思想認識.

而在公式的概括和證明階段則蘊含著數學的模型思想、數形結合思想和抽象思想. 根據具體的問題構建數學模型，是模型思想的應用體現;而利用幾何模型抽象數學公式，完成公式的概括，則滲透著數學的抽象思想;整個圖形的證明過程則是數形結合思想的應用. 考慮到學生的認知能力相對較弱，缺乏相應的思想基礎，教學中，我們不能將數學思想剝離開來，也不能直接忽視，以免造成數學思想的缺失. 我們應結合教學內容，設置具體的教學環節，使學生充分體驗利用數學思想方法完成知識探究的具體過程，并在探究過程中逐步積累應用思想方法的技巧. 如在從一般到特殊思想的滲透階段，呈現多樣的平方差公式問題時，有必要提醒學生與其他多項式的乘法形式相比較，從而認識其特殊性;而在數形結合思想的滲透階段，可以引導學生掌握該思想的一般思路：分析題干→提煉數據→繪制模型→分析模型→構建數式關系.

數學教學因思想而深刻. 在思想方法的指引下完成對公式的探究，更能強化學生對公式的認識，其對學生感悟思想、提升數學思維有極為重要的推動作用，且對學生的后續發展意義重大.

總之，“平方差公式”作為通過多項式乘法總結出的規律性公式，其探究過程及教學方式具有一定的代表性，教學中可采用活動探究的方式，利用模型完成公式的證明，引導學生關注公式的符號語言，滲透數學思想方法，通過合理的教學設計使學生在掌握知識的同時接受數學思想的熏陶.