轉子式機油泵的橢圓與類橢圓齒廓修形方案分析

霍鵬光 龔金科 蔡 皓

1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.湖南省機油泵股份有限公司，衡東,421400

0 引言

機油泵內外轉子在運轉嚙合時，內外轉子的齒廓線形不僅影響機油泵工作運轉的嚙合平穩性，而且對運轉過程中的嚙合連續性有很大影響，進而影響機油泵的整體性能，因此，進行轉子式機油泵的齒廓線形的優化設計顯得尤為重要。國內學者宋如鋼等[1]對一種新型的內嚙合圓弧擺線轉子泵進行了研究，并改善了普通轉子泵的嚙合特性；黃將興等[2]對擺線齒廓嚙合界限點的二次包絡曲線進行了優化設計；毛永華等[3]提出了轉子泵各設計參數的確定原則，并分析了內外轉子的相互關系；曾慶生等[4]對轉子式機油泵進行了多學科優化設計。國外學者JUNG等[5-7]對機油泵的齒廓線形進行了大量研究，提出了圓弧-橢圓復合擺線以及新型凸輪齒廓等；CHOI等[8]在內外轉子的偏心研究中提出在內擺線和外擺線之間插入一段圓弧曲線，用來控制內轉子的尖端寬度以提高泵運轉過程中的流動性；BAE等[9]采用理論公式預測算法對50萬種轉子線型進行了分析，采用自動設計和多重計算程序確定了轉子線型設計參數的最佳取值范圍，提高了油泵燃油效率；INAGUMA[10]研究了外轉子摩擦力對內嚙合齒輪泵摩擦力矩特性的影響，研究表明作用在外轉子圓周上的不平衡力引起油泵產生較大的扭矩，可通過在外轉子圓周上設置一個卸荷槽以減小不平衡力，通過計算出的壓力分布結果，可估計出外轉子與泵體之間的摩擦因數。

由于尺寸的限制，現有轉子線型很難滿足性能(特別是低速性能)的需求。為了增大轉子式機油泵在低速時的流量，本文研究了一種新型轉子線型方程及其相應的修形方法，并在流量性能、液力矩與接觸力方面與原橢圓線型進行了比較。

1 類橢圓齒廓設計

類橢圓外轉子的每半個齒的齒廓由一段類橢圓弧、一段齒底圓弧以及與類橢圓弧和齒底圓弧同時相切的圓弧倒角組成。類橢圓弧的橢圓率隨齒廓角呈平方根遞增。內轉子的每個齒的齒廓為外轉子類橢圓段齒廓的共軛曲線，內外轉子的每對齒在嚙合過程中均參與嚙合，且嚙合線封閉。圖1和圖2分別為類橢圓齒廓設計和計算參數示意圖。

圖1 類橢圓齒廓設計參數關系示意圖Fig.1 Schematic diagram of the design parameters of similar elliptical tooth profile

圖2 類橢圓外轉子理論齒廓計算參數示意圖Fig.2 Schematic diagram of calculation parameters of similar elliptical outer rotor theoretical tooth profile

1.1 確定外轉子類橢圓理論齒廓

以具有相同基本設計參數的橢圓外轉子的一個齒廓中心OT為類橢圓外轉子的齒廓中心，構造其理論齒廓，在以外轉子中心O1為圓心，固連在外轉子上的直角坐標系O1x1y1內，類橢圓外轉子的齒廓方程為

(1)

a0=b+(a-b)(π/2)-1/2α1/2

(2)

式中，a、b分別為原橢圓齒廓的長短半軸長；R1為齒廓中心OT到外轉子中心O1的距離；α為過外轉子理論齒廓上任意點與齒廓中心OT的連線與y1軸的夾角；a0為與齒廓角α有關的系數，當α從0→π/2時，a0從b按平方根增至a。

確定外轉子類橢圓理論齒廓嚙合界限角與類橢圓-圓弧倒角切點角，并由此構造外轉子實際齒廓。外轉子理論齒廓上過任意點的切線與x1軸的夾角γ為

(3)

當過類橢圓外轉子齒廓上某點的法線與外轉子節圓的交點數目為1時，外轉子圓心到該線的距離等于外轉子節圓半徑，其表達式如下：

x1cosγ+y1sinγ=r1

(4)

式中，r1為外轉子節圓半徑。

聯立式(3)、式(4)，可求得齒廓角α，即為類橢圓齒廓外轉子嚙合界限角αf。

坐標系O1x1y1內圓弧倒角與齒底圓的齒廓方程表達式分別如下：

(5)

(6)

式中，β為圓弧倒角任意點與圓弧倒角中心Oc的連線與x1負半軸之間的夾角;rd為圓弧倒角半徑;xOc、yOc為圓弧倒角中心點的橫坐標和縱坐標；r1b為外轉子齒底圓半徑；θ為齒底圓上任意點與外轉子中心的連線與y1軸之間的夾角。

圓弧倒角段中兩個特殊的角度關系表達式分別如下：

βd=cot tanγd

(7)

βc=θc+π/2

(8)

式中，βd為與類橢圓段相切的圓弧倒角起點與圓弧倒角中心的連線與x1軸之間的夾角;γd為過外轉子理論齒廓上對應類橢圓-圓弧倒角切點角αd的點的切線與x1軸的夾角;βc為與齒底圓弧相切的圓弧倒角終點與圓弧倒角中心的連線與x1軸的夾角;θc為與圓弧倒角段相切的齒底圓起點與外轉子中心的連線與y1軸之間的夾角。

將式(7)代入式(3)和式(5)，求得xOc、yOc用αd表示的解析表達式。將得到的xOc、yOc以及式(8)代入式(5)、式(6)中，分別得到x1、y1用αd表示的θc。當兩θc相等時，此時表達式即可求得內類橢圓-圓弧倒角切點角αd。比較αf與αd，僅當αd≥αf時才能生成正確的齒廓，根據計算得到的αf與αd，進而計算得到相應的βd、βd與θc，由此生成外轉子的實際齒廓。

1.2 確定內轉子類橢圓理論齒廓

內轉子齒廓為外轉子理論齒廓在0≤α≤αf范圍內的共軛曲線。在以內轉子中心O2為圓心，固連在內轉子上的直角坐標系O2x2y2內，可得到內轉子齒廓的相關表達式如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，φ1為過外轉子任意點上法線與外轉子節圓的交點與外轉子中心的連線與y1軸的夾角，同時也為外轉子旋轉角;φ2為內轉子旋轉角;z1為外轉子齒數;z2為內轉子齒數;ψ為φ1與γ之間的夾角;e為偏心距。

2 修形方案

不考慮公差時，現有Cummins6B泵外轉子齒底圓半徑Rb為64.38/2=32.19 mm。橢圓齒廓中心到外轉子中心距離為齒頂圓半徑與橢圓齒廓短半軸之和42.383/2+21.89/2=32.136 5 mm。內轉子齒頂半徑為53.288/2=26.644 mm。按偏心距為5.529 mm計算，以外轉子圓心為原點，當內外轉子任意一對齒位于y軸位置時完全嚙合，則此時內轉子齒頂縱坐標為26.644+5.529=32.173 mm，其值大于此時外轉子齒底圓半徑縱坐標32.136 5 mm，因此，即使考慮了公差，也有很大的幾率造成無法安裝。

現有的Cummins 6B泵內轉子齒廓為橢圓弧，并非外轉子橢圓弧的共軛曲線。此設計的弊端在于由于旋轉時內外轉子的非共軛性，機油泵運轉平穩性降低，振動增大。現根據相關計算，得到外轉子齒廓橢圓段共軛曲線的內轉子齒頂半徑約為26.720 5 mm，則外轉子齒底圓半徑Rb更改為26.720 5+5.529=32.249 5 mm，不影響轉子的正常嚙合。

由于線切割加工精度為0.02 mm，則預設定內轉子最小修形量為0.02 mm。隨著轉角量的增大，間隙也增大。為了避免嚴重內泄，目前研究的轉角量設為0.1°與0.2°。初步研究以下4種修形方案：①方案1(等距修形0.02 mm)；②方案2(等距修形0.04 mm)；③方案3(轉角修形0.1°+齒頂齒底等距修形0.02 mm)；④方案4(轉角修形0.2°+齒頂齒底等距修形0.04 mm)。

由于要求機油泵流量不能減小，根據以前相關研究結果，預研究外轉子理論齒廓線形為橢圓與類橢圓，因欠缺包含詳細線形的現有轉子三維模型，本文未對現有產品線型進行研究。圖3所示為橢圓齒廊與類橢圓齒廊對比。

(a)橢圓 (b)類橢圓圖3 橢圓齒廓與類橢圓齒廓對比Fig.3 Comparison of elliptical tooth profile and elliptical tooth profile

(1)橢圓齒廓。內轉子采用方案3修形后，共軛部分對應內轉子理論齒廓極角為24.181 72°～40.445 85°，連續旋轉角度為130.647 74°-13.089 63°≈117.56°>72°，滿足連續傳動要求；內轉子采用方案4修形后共軛部分對應內轉子理論齒廓極角為24.177 96°～40.446 89°，連續旋轉角度為130.659 14°-13.086 61°≈117.57°>72°，也滿足連續傳動要求。具體修形量如圖4a所示。

(2)類橢圓齒廓。內轉子采用方案3修形后，共軛部分對應內轉子理論齒廓極角為21.728 73°～38.160 08°，連續旋轉角度為132.266°-10.931 05°≈121.33°>72°，滿足連續傳動要求；內轉子采用方案4修形后，共軛部分對應內轉子理論齒廓極角為21.725 16°～38.160 91°，連續旋轉角度為132.276 22°-10.928 13°≈121.35°>72°，也滿足連續傳動要求。具體修形量如圖4b所示。

(a)橢圓

(b)類橢圓圖4 齒廓修形方案Fig.4 Tooth profile modification scheme

3 流量性能分析

基于PUMPLINX專業泵閥軟件平臺進行機油泵CFD仿真預測，PUMPLINX流體域二叉樹網格如圖5所示。采用PUMPLINX自帶的擺線內齒輪泵的模型，設置模型參數見表1。添加湍流模型、空化模型以及流線，并進行仿真預測。圖6為殘差收斂時流動壓力云圖。

PUMPLINX模型參數內齒輪數4外齒輪數5旋轉方向逆時針旋轉轉速(rad/min)750旋轉軸(m)(0,0,1)端面間隙(m)5×10-5間距內徑(m)0.0079間距外徑(m)0.0357內轉子中心(m)(0,0,0)外轉子中心(m)(0,-0.00552,0)間距層數5外轉子徑向間隙(m)1×10-6內轉子徑向間隙(m)0機油密度(kg/m3)790動力黏度(N·s/m2)0.00051入口壓力(Pa)91325出口壓力(Pa)401325工作溫度(K)373飽和壓力(Pa)400氣體質量分數9×10-5每轉一個內齒迭代步數80

圖6 流動壓力云圖Fig.6 Flow pressure cloud image

旋轉圈數為5圈，不考慮泄漏，不同方案得到的平均流量的仿真結果如表2所示。由表2可以看出：①具有較小間隙修形方案的轉子泵流量較大;②相同修形方案的前提條件下，類橢圓齒廓轉子泵流量大于橢圓齒廓轉子;③等距修形方案的流量大于具有相同最小間隙的轉角修形+齒頂齒底等距修形方案4的流量，即方案1流量大于方案3流量，方案2流量大于方案4流量；當轉角修形量為0.1°時，轉角量對流量的影響不明顯。

表2 平均流量仿真Tab.2 Average flow simulation L/min

圖7所示為流量穩定后內轉子旋轉第5圈瞬時的流量。

(a)橢圓

(b)類橢圓圖7 瞬時流量Fig.7 Instantaneous flow

由表3可以推斷，在滿足流量性能的前提下，

表3 流量不均勻性

可從流量不均勻性考慮：①修形方式對橢圓齒廓與類橢圓齒廓的影響各不相同。采用等距修形時，較大的修形量會改善橢圓齒廓流量的不均勻性(亦或仿真精度導致)；其余情況均表示較小的修形量會改善流量的不均勻性。②采用相同修形方式時，類橢圓齒廓流量的均勻性優于橢圓齒廓。

4 液力矩分析

不同方案流量穩定后內轉子旋轉第5圈時，內轉子上的液力矩如圖8所示。與內轉子液力矩相關的內轉子平均液力功率如表4所示。

(a)橢圓

(b)類橢圓圖8 內轉子液力矩Fig.8 Inner rotor hydraulic torque

W

由圖8與表4可以看出：①內轉子液力矩在內轉子旋轉時一直起阻礙作用；②方案4的內轉子上的液力矩較平緩，其最大扭矩也較小；③不同修形方案對不同齒廓的影響均不相同，需用臺架實驗進行確定。總體而言，采用較大的修形量會稍微降低內轉子上的液力矩。

(a)橢圓

(b)類橢圓圖9 外轉子液力矩Fig.9 External rotor hydraulic torque

不同方案流量穩定后內轉子旋轉第5圈時，外轉子上的液力矩如圖9所示。由圖9可以看出：①外轉子上的液力矩大多數時候起阻礙作用，但有時會起到推動外轉子的作用；②方案3、4的扭矩曲線較為平緩；③橢圓與類橢圓齒廓數據相差不大，類橢圓齒廓外轉子上的最大負液力矩大于橢圓齒廓。

5 多體動力學分析

采用ADAMS模擬僅考慮內外轉子嚙合時的多體動力學，邊界條件為內轉子轉速為750 r/min，加載上述內容中已得到的內外轉子上的扭矩，設置ADAMS仿真迭代步為10 000。

5.1 接觸力分析

圖10所示為得到不同齒廓內轉子上的接觸力。由圖10a可以看出，橢圓齒廓采用方案1修形時，其接觸力峰值較大；方案2的前3個接觸力峰值較小，僅第四個峰值略高；方案3僅次于方案2；方案4的接觸力峰值差異較小。由圖10b可以

(a)橢圓

(b)類橢圓圖10 不同齒廓內轉子接觸力Fig.10 Contact force of rotor in different profile

看出，類橢圓齒廓采用方案1修形時，峰值較低，且差異較小；方案2的應力峰值略高于方案1，分布亦較平均；方案3的前三個接觸力峰值小于方案1，僅第四個峰值略高；方案4的接觸力峰值最高，相互之間差異不大。

圖11所示為相同方案內轉子上接觸力。由圖11可以看出，類橢圓齒廓內轉子接觸應力小于橢圓齒廊的內轉子接觸應力，且峰值間差異較小。內轉子軸心處扭矩主要受接觸力的影響，液力矩的影響幾乎可忽略，趨勢與圖10、圖11類似，此處不做進一步研究。

(a)方案1

(b)方案2

(c)方案3

(d)方案4圖11 相同方案內轉子接觸力比較Fig.11 Comparison of rotor contact force in the same scheme

5.2 外轉子轉速分析

(a)橢圓

(b)類橢圓圖12 不同齒廓外轉子轉速比較Fig.12 Comparison of rotor speed with different profile

圖12所示為不同齒廓外轉子轉速。由圖12可以看出：①隨著修形量的增加，外轉子轉速的波動加劇，由于方案1的修形量很小，其對外轉子轉速波動的影響也較小；②采用轉角修形+等距修形的方案3與方案4，其在轉角修形處的轉速波動與方案1接近。

6 結論

(1)采用相同修形方法時，類橢圓齒廓轉子泵與橢圓齒廓轉子泵相比，流量較大、內轉子上的液力矩與接觸力較小，轉速波動相差不大，有利于提升流量性能與降低能耗。

(2)采用不同修形方法的結果表明，修形量較小時轉子泵流量較大，此時采用“轉角修形+等距修形”可適當降低內轉子接觸力與液力矩，同時對轉速波動影響不大。

(3)由于現有產品的內轉子線形為橢圓而非外轉子橢圓線形的共軛曲線，建議在加工精度允許的情況下，優先進行采用方案1與方案3修形的橢圓齒廓與類橢圓齒廓轉子泵臺架實驗。

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