時變負載轉矩伺服電機驅動的連鑄結晶器振動位移系統補償控制

馬 壯 方一鳴 李建雄 劉 樂

1.燕山大學工業計算機控制工程河北省重點實驗室，秦皇島，0660042.國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術研究中心，秦皇島，0660043唐山學院智能與信息工程學院，唐山，063000

0 引言

連鑄結晶器是鋼鐵連鑄自動化生產過程中的關鍵設備之一，其振動波形、振動頻率、拉坯速度等參數直接影響著鑄坯質量。目前，連鑄結晶器按照振動控制方式主要分為采用正弦振動與非正弦振動[1-4]兩大類；按照驅動方式主要分為是伺服驅動和非伺服驅動兩大類。本文以伺服電機驅動的連鑄結晶器非正弦振動裝置[5]為研究對象，該裝置采用單方向連續轉動控制方式，不僅有效避免了電機頻繁的正反轉啟停，且具備節能降耗、結構簡單、可維護性好等優點[6]，但其系統的負載具有時變等不確定性，這在某種程度上制約了系統控制精度的進一步提高。

近年來，國內外關于伺服電機驅動系統的研究，主要針對控制精度、跟蹤精度和抑制擾動等方面。文獻[7]針對伺服系統存在外部擾動和參數不確定性等特點，采用預測控制方法設計了控制器，保證了閉環系統對轉速的精確跟蹤和對電機電流的輸出控制。文獻[8]提出在伺服系統位置前饋控制的基礎上，引入位置環微分負反饋控制策略，這樣既能保證系統無超調快速響應，又不影響位置前饋跟蹤性能。文獻[9]采用模糊控制與神經網絡相結合，實現連鑄結晶器非正弦振動系統的跟蹤控制，仿真結果驗證了所設計的方案能提高非正弦振動系統跟蹤控制性能和魯棒性。文獻[10]應用無源性控制理論和方法，研究了在負載轉矩和期望轉矩任意時變的情形下異步電動機期望轉矩的漸近跟蹤控制問題。文獻[11]提出以轉速、負載轉矩為觀測對象的擴展滑模觀測器，對觀測的負載轉矩進行前饋補償，克服了負載時變對控制性能的影響。文獻[12]采用非奇異終端滑模的負載觀測器，將觀測值補償到系統的控制器中，從而增強了系統的魯棒性，并提高了跟蹤精度。文獻[13-14]引用自抗擾控制技術在線估計轉矩擾動，進一步提高了伺服控制精度。然而，針對僅具有位移傳感器的連鑄結晶器振動控制系統來說，因其單方向、變角速度旋轉產生的伺服電機位置轉角的控制問題，前述方法并不能直接采用。

本文分析并建立伺服電機驅動的連鑄結晶器非正弦振動控制系統數學模型，對結晶器振動位移與伺服電機角位移之間的逆解非唯一問題將采用分段函數映射的方法；針對結晶器控制系統的時變負載轉矩特性，采用擴張狀態觀測器對時變負載轉矩和伺服電機轉速進行觀測，并將其輸出的觀測值引入到Backstepping控制器中進行補償，以抑制時變擾動與負載突變引起的系統性能的降低。

1 伺服電機驅動的連鑄結晶器系統數學模型

1.1 伺服電機驅動的連鑄結晶控制系統描述

(a)系統振動裝置樣機原型

(b)系統振動裝置示意圖圖1 伺服電機驅動的連鑄結晶器振動裝置樣機及示意圖Fig.1 Vibration device prototype and schematic diagram of continuous casting mold driven by servo motor

本文研究的伺服電機驅動的連鑄結晶器振動裝置示意圖如圖1所示。伺服電機通過聯軸器、減速器、偏心軸以及連桿等機械傳動機構，實現對結晶器振動臺的驅動控制。

伺服電機驅動的連鑄結晶器位移控制系統振動裝置原理為：首先，結晶器位移振動控制系統根據連鑄拉坯速度與給定位移振動波形計算出伺服電機的轉速；其次，將轉速傳送給伺服電機控制器，通過伺服電機控制器與伺服電機形成轉速與電流的雙閉環系統，跟隨系統轉速的給定；最后,通過機械傳動機構完成結晶器位移振動控制系統輸出。其系統輸入輸出規律為：當伺服電機恒速運轉時，結晶器為正弦振動；當伺服電機變速運轉時，結晶器為非正弦振動。

本文主要分析負載的時變特性對系統位移控制精度的影響，并進行補償控制研究。其振動裝置的負載主要包括鋼水、結晶器本體、振動臺的質量等。同時，結晶器非正弦(含正弦)振動過程中負載存在加速度，也會產生力矩；結晶器中鐵水的多少也將會引起負載的波動。

1.2 系統模型描述

1.2.1 伺服電機雙閉環系統部分模型

伺服電機驅動的連鑄結晶器模擬振動系統采用的是永磁同步電動機(PMSM)；控制器為西門子S120驅動控制器，構成伺服電機轉速和電流環雙閉環控制系統，如圖2所示。

圖2 伺服電機驅動器控制的電流與 轉速雙閉環控制原理圖Fig.2 Principle diagram of current and speed double close-loop for servo motor driver

本文的伺服電機模型采用的是d-q坐標系下狀態方程的形式[12]：

(1)

式中，n為伺服電機輸出轉速；ud、id分別為d軸電壓和電流；uq、iq分別為q軸電壓和電流；J為轉動慣量；B為黏性摩擦系數；TL為負載轉矩；p為磁極對數；L、Rs、ψf分別為伺服電機等效的電感、磁阻和磁鏈。

1.2.2 機械傳動機構部分模型建立

連鑄結晶器振動裝置機械傳動機構部分(圖1b)主要由減速器、偏心軸及連桿等組成。假設聯軸器、偏心軸以及連桿機構為剛性連接，并忽略其非線性因素，這里僅考慮減速器的測量誤差以及齒輪間隙磨損造成的減速比變化的影響，本文采用減速器的理想減速比i=5.113 5。結晶器連桿機構振動位移模型為

xp=hsinθm

(2)

式中,h為連鑄結晶器振動位移,h=3 mm；θm為偏心軸的位置轉角。

θm與伺服電機輸出的角速度ω的關系表達式如下：

ω=2πnm/60=2πn/(60i)

(3)

(4)

式中，ω為伺服電機輸出的角速度；nm為伺服電機經減速器后輸出的轉速。

由式(2)～式(4)可知，振動位移模型為

(5)

(6)

1.2.3f(·)函數關系的確立

結晶器位移振動范圍在[-h,h]，其逆解與角位移并不是一一對應的。為使其相對應，本文提出了一種分段映射函數法f(·)，建立區間內偏心軸角位移與結晶器位移的一一對應關系，其原理如圖3所示。圖3a中結晶器振動位移h=3 mm，在一個周期范圍內劃分了4個時間段，即為t1、t2、t3、t4。

(a)振動位移及其絕對值曲線

(b)期望角位移和|xp|/h反正弦曲線圖3 結晶器振動位移與角位移變換原理圖Fig.3 Conversion principle diagram between mold vibration displacement and angular displacement

在結晶器控制系統的偏心軸零位確定為初始值為0的情況下，其振動波形如圖3a所示；本系統的伺服電機單方向旋轉的角位移與量綱一振動位移|xp|/h的反正弦函數關系如圖3b所示。其變換推導過程如下。

(1)根據結晶器第一個周期的振動位移及其絕對值推導角位移與|xp|/h之間的關系，如下式所示:

(7)

其中，ti與ω的關系為

(8)

(2)引入變量k，在0≤ωt≤ωt0區間，其值為1；在ωt0≤ωt≤ωt1區間，k=2；其中j=i+1,以此類推，通過式(7)可歸納出：

f(xp)=

(9)

ωti<ωt<ωtj

(3)變量k的初始值為1，其k←k+1的更新條件為

(|xp(t)|-|xp(t-1)|)·(|xp(t+1)|- |xp(t)|)<0

(10)

(4)更新k后，返回步驟(2)即可。

定義1θ(t)是伺服電機驅動的連鑄結晶器非正弦控制裝置的角位移輸出，A為關于振動波形偏斜率α的表達式。θ(t)為自變量時間t的連續函數，t∈[0,∞)，其表達式如下：

θ(t)=ωt+Asinωt

(11)

定理1 對于結晶器振動位移xp=hsinθ(t)，其中h>0。在t∈[0,∞)的任意時刻，關于f(xp)的表達式，式(9)是連續函數，且θ(t)與xp一一對應。

證明：

(12)

在計算映射函數的右極限時，k更新為k+1，此時極限為

(13)

故可得

(14)

由式(14)可知，即f(xp)在此點為連續函數。同理，當k為偶數時，f(xp)也為連續函數。因此f(xp)為映射函數。證畢。

(2)唯一性證明。由定義1可知：θ′(t)=ω+Aωcos(ωt)≥ω-Aω=ω(1-A)>0,因此，θ(t)為單調增函數?，F僅須證明f(xp)為單調增函數，即可證明f(xp)與θ(t)是一一對應的。當k為奇數時，f(xp)的導數為

(15)

同理，當k為偶數時，f(xp)的導數為

f′(xp)=ω(1-A)>0

(16)

證畢。

由式(13)可知，在ω=13.61 rad/s，A=0.4的情況下。圖4所示為角位移映射函數與實際位移實時跟蹤曲線。由圖4可以看出，實際角位移經映射函數轉換后得到的曲線，具有很高的轉換精度，同時表明了本方法的可行性。

圖4 映射函數f(·)和實際角位移跟蹤曲線Fig.4 Curve of mapping function f(·) and the actual angular displacement

因電流環均考慮在伺服電機驅動器之內，經整定采用PI調節器，故此部分不再贅述。

(17)

式中，D(t)為含有負載擾動Δd和參數攝動ΔB的復合擾動。

負載轉矩(TL+Δd)具有時變特性，Δd為時變負載擾動的不確定項，Δd滿足下式：

sup‖Δd(t)‖=δ<+∞t∈[0,+∞)

(18)

式中,δ為已知常數。

2 控制器設計與穩定性分析

首先，針對負載時變擾動，采用擴張狀態觀測器進行觀測；然后，采用Backstepping控制方法進行位置環控制器設計，并進行穩定性分析。系統控制結構圖如圖5所示。

圖5 伺服電機驅動的連鑄結晶器位移控制系統原理圖Fig.5 Control system principle diagram of continuous casting mold driven by servo motor for displacement

2.1 時變負載狀態觀測器的設計

在結晶器控制系統中，針對式(18)中的負載轉矩不確定項，擬采用帶有動態補償律的非線性擴張狀態觀測器[15]，表達式如下:

(19)

g(·)的表達式如下：

(20)

式中，exp為自然對數。

參數矩陣K=[k1k2…kn+1]可由下式中的期望極點來確定：

(21)

式中，pi為預設極點;K為狀態觀測器參數矩陣；I為單位矩陣;s為拉普拉斯算子。

2.2 控制器設計

由式(19)，定義系統狀態誤差向量E=(e1,e2)=x-xd，xd=(x1d，x2d)，x、xd分別為系統狀態向量、期望狀態向量，則系統誤差模型為

(22)

采用Backstepping控制方法完成式(22)控制器設計，步驟如下：

根據式(22)的第1式構造Lyapunov函數V1為

(23)

令虛擬控制量σ=K1e1+e2(K1>0為可調參數)，則式(23)的微分為

(24)

針對子系統式(22)的第2式，選取實際控制量u為

(25)

式中，K2為可調參數，K2>0。

構造正定Lyapunov函數V2為

(26)

對V2求一階導數：

(27)

根據李雅普諾夫穩定性理論，伺服電機驅動的連鑄結晶器振動控制系統在所設計控制器(式(25))的作用下是全局漸近穩定的。

3 仿真研究

為了驗證所設計算法的有效性，針對前文中設計的控制器及非線性處理方法進行時變負載轉矩的結晶器振動控制系統仿真研究。圖1中的減速器的減速比i=5.114 5。伺服電機采用的是德國Siemens的1FT6134-6，其具體參數見表1。

表1 永磁同步電機參數

電流d、q軸的PI調節器結構為

(28)

式中,Kp為比例調節系數;τ為積分調節時間。

經系統參數整定，式(28)中的參數分別為KP=12.982，τ=0.002 s。

本文采用的擴張狀態觀測器，預設極點為三重根p1,2,3=-5，根據式(21)計算可得：k1=75，k2=75，k3=125。

結晶器的給定角位移信號為

θ*=ωt-Asin(ωt)

(29)

式中，f為連鑄結晶器非正弦振動頻率,f=130 Hz。

文獻[4]中負載擾動表達式如下：

TL=5.133 5+6.498 5sin(ω0t-Asinω0t)

(30)

針對結晶器振動過程中負載轉矩的時變特點，仿真研究中在t=2 s時刻突加負載擾動Δd1=10 N·m,且在t=3.5 s時刻突減負載擾動Δd2=10 N·m,用以驗證系統的可靠性。

圖6～圖9所示分別為時變擾動與突加負載變化時，系統在反步控制與PID控制結晶器振動位移跟蹤曲線與跟蹤誤差曲線。由圖7可以看出，本文提出方法的誤差范圍為-0.1～0.1mm，而PID控制方法的誤差為0.5mm，故本文采用的方法控制精度較高。由圖9可以看出，本文提出的方法與圖6相比基本未變化，而PID控制方法的控制精度則有顯著較低。由此可知，Backstepping控制較PID控制能夠更好地抑制由于負載時變與突變引起的擾動。而經典PID控制方法具有算法簡單、控制效果較好等優勢，但它在抑制時變與突加負載擾動時，系統的跟蹤性能較Backstepping控制方法差，PID控制方法的跟蹤誤差在負載突變時影響更加明顯。

圖6 時變無擾動振動位移跟蹤曲線Fig.6 Tracking curve of vibration displacement without time-varying load torque disturbances

圖7 時變無擾動誤差跟蹤曲線Fig.7 Tracking error curve of vibration displacement without time-varying load torque disturbances

圖8 時變突加擾動振動位移跟蹤曲線Fig.8 Tracking curve of vibration displacement with time-varying disturbance

圖9 時變突加擾動誤差跟蹤曲線Fig.9 Tracking error curve of vibration displacement with time-varying disturbance

4 結論

(1)本文研究了結晶器非正弦控制系統中振動位移與伺服電機角位移逆解不唯一問題，提出了一種利用函數映射的方法。

(2)在考慮系統時變負載擾動的情況下，采用了以角位移與伺服電機電流為輸入的擴張狀態觀測器來估計電機轉速與負載擾動，并將其補償到控制器中。

(3)采用Lyapunov定理證明了閉環系統的穩定性，所提出的方法能夠實現對時變負載與時變突加負載的自適應控制。

(4)仿真研究表明，映射函數與反步控制相結合的方法符合結晶器非正弦控制系統的性能要求，具備較好的收斂性與魯棒性。相比于經典PID控制方法，本文所提出的方法不僅實現了對振動位移的精確跟蹤控制，而且在突加負載擾動情況下也具有較好的瞬態性能。

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