一種3-DOF并聯機械手的研制

榮 譽 劉雙勇 王洪斌 韓 勇

1.燕山大學控制科學與工程博士后流動站, 秦皇島,0660042.河北科技師范學院機電工程學院,秦皇島,0660043.中信戴卡股份有限公司,秦皇島,066004

0 引言

機械手是人類最早投入工業和科研領域的機器人結構之一[1-2]，金屬材料的表面打磨、拋光加工是機械手的重要應用領域[3-5]。鋁合金輪轂制造過程中存在大量的打磨、拋光加工工藝過程，目前這些表面的加工還是以人手持打磨工具進行加工的方式為主[6-7]。鋁合金輪轂機械打磨、拋光的設備和工藝研究，主要采用兩種方式：一種方式是通過常規工業機器人手腕帶動打磨電主軸對輪轂進行打磨[8-9]；另一種方式是通過設計專用打磨機床對輪轂進行加工[10-12]。開發一種專用的鋁合金輪轂打磨機械手，使其具有承受高負載/高沖擊能力、高精度、復雜曲面貼合能力具有重要的意義。

機械手的結構設計和控制系統開發是其最重要的研發內容[13]，其中結構設計起著決定性作用。針對輪轂打磨、拋光過程中的大加工反作用力、大扭矩、高精度要求、高粉塵工況，并聯結構比傳統工業機器人的串聯結構更合適。國內的并聯結構機械手的成果主要有：天津大學研發的系列工業機械手[14-15]；上海交通大學研發的串/并聯的系列機械手[16-17]；燕山大學研發的欠驅動機械手[18]等。機械手的本體結構設計屬于多參數耦合、多目標函數耦合的設計過程，很難實現機械手的各種性能評價指標均取最優值。已有的方法主要包括單目標參數設計法[19]和多目標參數綜合設計法[20]。

本文提出一種采用(U+UPS)P+UPS弱耦合并聯機構的用于輪轂打磨的3-DOF機械手，并采用矢量回路法對機械手的機構進行了運動學分析與運動靈活性評價，同時，還對機構進行了靜力學分析與靜力承載性能評價。基于運動靈活性評價指標和靜力承載性能評價指標的分布情況，選取了機械手的結構參數，設計出3-DOF并聯機械手，并研制出機械手的實驗樣機。

1 機械手構型

圖1為一種支鏈含閉環的(U+UPS)P+UPS弱耦合并聯機構的3-DOF機械手機構簡圖。機構描述的字母U代表萬向副、P代表移動副、S代表球面副。該機構由固定平臺、運動平臺和中間連接的一個UPS支鏈及另一個含有閉環的(U+UPS)P支鏈構成。其中，(U+UPS)P支鏈的構型方式為：以UP鏈為主干，且UP鏈通過萬向副與固定平臺連接，通過移動副伸縮桿末端與運動平臺垂直固接，閉環部分的UPS鏈一端通過萬向副與固定平臺連接，另一端的球面副通過中間連接桿與主干部分UP鏈的移動副套筒固接。不含閉環的UPS支鏈一端通過萬向副與固定平臺連接，另一端通過球面副與運動平臺連接。為了便于設計制造，將3個移動副選取為驅動運動副。

1.固定平臺 2.長UPS支鏈 3.短UPS支鏈 4.運動平臺 5.中間連接桿 6.UPF支鏈圖1 (U+UPS)P+UPS機構簡圖Fig.1 Schematic diagram of (U+UPS)P+UPS

用螺旋理論進行自由度分析可知[21]，該機構是具有2個轉動、1個平移的三自由度機構，其運動平臺具有1個約束力偶和2個約束力。為了實現機構各支鏈間運動的解耦性，這里采用文獻[22]的轉動解耦性優化方法對機構進行轉動解耦運動副布局，使與固定平臺連接的3個萬向副的位置呈等腰直角三角形布局。其中，(U+UPS)P支鏈的主干部分UP鏈的萬向副在直角頂點處，且主干UP鏈萬向副和不含閉環的UPS支鏈萬向副靠近固定平臺的轉動軸線共線；(U+UPS)P支鏈的閉環部分UPS鏈的萬向副靠近固定平臺的轉動軸線與上述軸線平行。通過這樣的布局，可以實現機構運動平臺2個轉動運動的解耦，且(U+UPS)P支鏈的閉環部分移動副與主干部分移動副的運動亦解耦，使整個機構的運動實現弱耦合。

2 機械手的機構學建模

2.1 坐標系定義及姿態描述

由圖1可以看出，A1是(U+UPS)P支鏈的主干部分UP鏈的萬向副回轉中心點，A2是(U+UPS)P支鏈的閉環部分UPS鏈的萬向副回轉中心點，A3是獨立UPS支鏈的萬向副回轉中心點。B1是運動平臺與UP鏈的軸線交點，B0是中間連接桿軸線與UP鏈的軸線交點，B2是(U+UPS)P支鏈的閉環部分UPS鏈與中間連接桿連接球面副的回轉中心點。用參數表示機構的主要結構尺寸為：A1A2=A1A3=a，B0B2=b，B1B3=c，A1B0=e，每個支鏈的長度AiBi=li(i=1,2,3)。以A1為原點建立機構固定參考坐標系A1xyz,其中，x軸與點A1、A3的連線共線；z軸與點A1、A2、A3所張成的平面垂直，方向如圖1所示；y軸方向滿足右手定則。以B1為原點建立機構運動坐標系B1upw，其中，w軸與UP鏈的軸線重合，方向如圖1所示；u軸與運動平臺上的點B1、B3的連線共線；p軸方向滿足右手定則。另外，建立UP鏈的本地坐標系A1u1p1w1，其中，w1軸與點A1B1的連線共線，方向如圖1所示；p1軸與點A1處的萬向副遠離固定平臺的回轉軸線重合；u1軸方向滿足右手定則。定義運動平臺的初始位姿為：運動平臺與固定平臺平行，且二者之間距離位于總變化范圍的中間值h。因為運動平臺與UP鏈末端固接在一起，所以選擇點B1為運動平臺參考點。

通過前文對機構坐標系的定義可知，坐標系B1upw相對于固定參考坐標系A1xyz的姿態可以通過2次旋轉變換實現：先繞x軸旋轉角度α，再繞p1軸旋轉角度β，運動平臺的旋轉矩陣R可以描述為

(1)

式中，u、p、w分別為坐標軸u、p、w在固定坐標系A1xyz中的單位矢量；rot表示旋度。

2.2 位置反解

機械手的位置反解是通過其運動平臺參考點B1在固定坐標系A1xyz中的位置矢量l1=(x,y,z)T，求出各支鏈總長度li(i=1,2,3)和運動平臺姿態角α、β。在固定坐標系A1xyz中，建立矢量鏈閉環方程

l1=l1w1

(2)

ew1=a2+l2w2-b

(3)

l1=a3+l3w3-c

(4)

式中，wi(i=1,2,3)為支鏈i的單位矢量;e為A1B0的長度；a2為矢量A1A2；a3為矢量A1A3；b為矢量B0B2；c為矢量B1B3。

對式(2)～式(4)兩端同時取范數可得

(5)

l2=‖ew1+b-a2‖

(6)

l3=‖l1+c-a3‖

(7)

根據矢量運算關系，可知w=w1=l1/l1=(wx,wy,wz)T

另外，根據式(1)可以計算出坐標系B1upw相對于固定坐標系A1xyz的姿態角為

(8)

將式(8)代入式(5)～式(7)即可求解出各支鏈的總長度值。

2.3 速度映射模型

建立運動平臺的速度矢量與各支鏈驅動速度之間的傳遞模型，對式(2)～式(4)兩端關于時間t求導數可得

(9)

(10)

(11)

對式(9)～式(11)兩端分別點乘wi(i=1,2,3)得

(12)

(13)

(14)

簡寫為

(15)

式中，J為機構的驅動雅可比矩陣,J∈R3×6。

將式(9)兩端同時叉乘w1可得

因UP鏈無法繞其自身軸線旋轉，故

ω=(w1×v)/l1

(16)

將式(16)代入式(13)、式(14)可得

(17)

(18)

因為bTw1=0、cTw1=0，故式(17)、式(18)變為

(19)

(20)

簡寫為

(21)

式中，Jv為機構的驅動線速度雅可比矩陣，Jv∈R3×6。

約束映射傳遞關系是建立機構的自身結構約束力/力矩與其輸入之間的傳遞模型，根據少自由度機構的運動平臺運動旋量分析方法，可知機械手的運動平臺旋量系與UP鏈的運動旋量系一致，所以運動平臺的瞬時旋量系在運動坐標系B1upw中的描述為

(22)

根據旋量系的對偶關系，可以得到機械手的運動平臺約束旋量系為

(23)

對式(22)、式(23)計算互易積：

(24)

將式(24)寫成矩陣形式可得

Jr°$p=0

(25)

式中，Jr為機構的約束雅可比矩陣，Jr∈R3×6。

將式(25)中Jr單獨描述可得

Jr的每個行向量代表運動平臺的一個約束旋量。

2.4 靜力學模型

定義運動平臺輸出驅動廣義力為Fq=[FTMT]T，機械手的驅動輸入廣義力為τq=[τq1τq2τq3]T，根據虛功原理可得

(26)

將式(15)代入式(26)就可以推導出機械手的驅動靜力學方程

Fq=Gqτq

(27)

式中，Gq為機械手的驅動力雅可比矩陣，且Gq∈R6×3。

定義運動平臺的約束廣義力為Fr=[fTmT]T，機械手的約束輸入廣義力為τr=[τr1τr2τr3]T，根據虛功原理可得

Fr=Grτr

式中，Gr為機械手的約束力雅可比矩陣，且Gr∈R6×3。

3 機械手的機構學性能分析

為了便于機構學分析，這里首先根據經驗初選一組結構參數：a=230 mm，b=100 mm，c=60 mm，e=480 mm，h=800 mm，li∈(600,1 000)mm(i=1,3)，l2∈(300,600)mm。

3.1 工作空間分析

在進行工作空間分析之前，需要首先定義機構的約束條件，主要包括各支鏈長度、支鏈截面積半徑、各運動副的工作范圍等。

各支鏈長度變化范圍為

limin≤li≤limaxi=1,2,3

(28)

式中，limin為各支鏈最小長度；limax為各支鏈最大長度。

各萬向副2個回轉軸線的轉角ψi和θi的變化范圍為

(29)

式中，ψmax、θmax為萬向副的極限轉角值。

各球面副3個回轉軸線的轉角ηi的變化范圍為

0≤ηi≤ηimaxi=1,2,3

(30)

ηi=arccos(qili)

式中，qi為球面副的球窩座與運動平臺固接點的單位法向矢量。

各支鏈移動伸縮套筒的實際直徑d限定了各支鏈間的接近程度，則任意2個支鏈間的最短距離dij的變化范圍為

dij≥di≠j且i，j=1,2,3

(31)

基于上述結構參數，根據式(2)～式(8)和式(28)～式(31)進行結構約束分析，采用漸變步長的搜索法在笛卡兒坐標空間內進行逐點計算并繪制出機械手的工作空間分布圖，如圖2所示。

圖2 機械手工作空間3D分布圖Fig.2 Workspace of manipulator

由圖2可以看出，機械手的工作空間是近似的軸對稱分布，主體由3個球冠交集構成，且各向分布均勻，說明該機構具有很好的各向同性；在垂直方向變化的同時水平截面先平穩增大后離散減小，可見其工作空間中垂直方向中、下部分布較好，可以作為結構設計的優選區域。

3.2 運動靈活性分析

首先，將雅可比矩陣的條件數k定義為運動學靈活性的一個評價指標[3]：

k=σmax/σmin

式中，σmax、σmin為雅可比矩陣的最大、最小奇異值。

基于初選結構參數，將機構工作空間坐標系進行網格分區，采用MATLAB計算評價指標k在機構工作空間內的分布，如圖3所示。

圖3 雅可比矩陣條件數k在工作空間分布圖Fig.3 Distribution map of conditional number k of Jacobi matrix in workspace

式中，V為工作空間函數。

3.3 靜力承載性能分析

(32)

(a)a與的關系

(b)b與的關系

(c)c與的關系

(d)e與的關系圖4 結構參數與機構運動靈活性評價指標關系圖Fig.4 Relationship between structural parameters and moving flexibility capacity evaluation indexes

式中，GqF、GqM分別為機構的驅動力、力矩雅可比矩陣，GqF∈R3×3，GqM∈R3×3。

對式(32)取范數為

如果輸入力為單位量，那么

引入拉格朗日算子如下：

(33)

式中，λF、λM為拉格朗日乘子。

通過式(33)可以計算出輸出力、力矩的極值條件：

(34)

通過式(34)可以計算出輸出力、力矩的極值為

(35)

式中，λFmax、λFmin、λMmax、λMmin分別為GqF、GqM的最大、最小奇異值。

定義機械手的一個驅動靜力承載性能指標為

ηF=‖F‖max

定義機械手的另一個驅動靜力承載性能指標為

式中，ηFR為力的最大值和最小值之差的比例關系。

把a、b、c、e選取為關鍵結構參數，繪制出結構參數與驅動靜力承載性能評價指標關系變化曲線，如圖5所示。

由圖5可以看出，ηF、ηFR值隨a值增大而波動增大，說明a值變化對ηF、ηFR的影響較大；ηF、ηFR值隨b值的增大而波動減小；ηF、ηFR值隨c值增大而減小，且減小到一定數值后，受其他約束影響變化趨緩；ηF、ηFR值隨e值增大而緩慢增大。

4 機械手的設計及加載實驗

4.1 機械手的實驗樣機本體設計

機械手的結構參數選取屬于多性能指標、多結構參數的復雜系統，對于此類系統文獻[18]提出一種基于性能評價指標的蒙特卡羅法對各結構參數進行抽樣，然后以各性能評價指標為目標函數，通過數學工具計算和分析抽樣結構參數值的分布規律，評估各性能指標的概率模型數值，然后根據概率值選取能夠使各評價指標取值均較好的結構參數值。

(a)a與ηF、ηFR的關系

(b)b與ηF、ηFR的關系

(c)c與ηF、ηFR的關系

(d)e與ηF、ηFR的關系圖5 結構參數與靜力承載性能評價指標關系圖Fig.5 Relationship between structural parameters and static bearing capacity evaluation indexes

(a)a概率圖 (b)b概率圖

(c)c概率圖 (d)e概率圖圖6 結構參數概率分布圖Fig.6 Probability distribution diagram of structural parameters

分析圖6可以獲得各結構參數的優選值區間，通過權衡各評價指標與各結構參數優選值區間的重疊區域，從而確定一組兼顧各方面性能的結構參數值，如表1所示。

采用表1結構參數值，結合制造工藝因素，設計出3-DOF機械手方案，如圖7所示。

表1 機械手樣機結構參數Tab.1 Structure parameters of manipulator prototype

1.基座 2.固定平臺 3.萬向副 4.絲杠電機 5.絲杠 6.絲杠螺母 7.套筒 8.伸縮桿 9.球面副 10.運動平臺 11.電主軸 12.打磨葉輪 13.輪轂 14.夾具 15.中間連接桿圖7 機械手設計方案圖Fig.7 Design scheme of manipulator

基于圖7的設計方案，研制出3-DOF機械手的實驗樣機，如圖8所示。

1.固定平臺 2.萬向副 3.電機架 4.絲杠 5.絲杠螺母 6.套筒 7.伸縮桿 8.球面副 9.手腕 10.運動平臺 11.中間連接桿 12.球面副圖8 機械手實驗樣機圖Fig.8 Experimental prototype of manipulator

4.2 實驗樣機本體的力學加載實驗

為了驗證本文研制的機械手在打磨載荷作用下的承載能力和結構變形情況，采用FANUC-R0iB機器人及配套的六維力/力矩傳感器作為力學加載實驗測量標定工具。基于FANUC-R0iB機器人的機械手力學標定系統(圖9)，該機器人從重復定位精度為0.001 mm、姿態誤差為0.01°，基于這樣的精度級別，可完成對機械手的位置和姿態力學加載實驗。標定系統主要由工業機器人R0iB、機器人手腕的力學標定傳感器、機械手實驗樣機和標定系統基座組成。

在測量標定時，將機器人手腕安裝的力學標定傳感器與機械手的手腕平臺固接，使機器人工作于軟伺服模式。首先，通過機器人測量出機械手腕在其工作空間內采樣點不受外力時的位姿精確坐標值。然后，通過機器人手腕的六維力/力矩傳感器施加給定的模擬打磨外載荷τ=[FTMT](外力/力矩值)，并在此外力/力矩狀態測量機械手腕位姿的變形量，從而整理出機械手在其工作空間內各采樣點在給定外力/力矩時的變形量數據。為了保證力學標定精度，將R0iB機器人與機械手的固定平臺放置在同一個大基座板上，從而使二者間沒有相對位姿變化發生。

將實測的各采樣點在模擬打磨外部載荷作用下變形量進行統計，如表2所示。

由表2可以看出，對于位置變形，各采樣點的實測值變形量均小于0.015 mm，而且各采樣點之間的實測變形值波動較小，說明該機械手的在外部載荷作用下的位置力學性能基本達到了設計要求。對于姿態變形，各采樣點的實測值變形量均小于0.15°，而且各采樣點之間的實測變形值波動較小，說明該機械手的在外部載荷作用下的姿態力學性能基本達到了設計要求。通過表2中對機械手在模擬打磨外載荷作用下的實測變形量可知，機械手本體實驗樣機的力學性能基本達到了設計要求。

(a)采樣點1 (b)采樣點2

(c)采樣點3 (d)采樣點4圖9 機械手力學加載標定系統Fig.9 Mechanical loading calibration system of manipulator

采樣點位置變形(Δx、Δy、Δz)(mm)姿態變形(Δα、Δβ、Δγ)(°)1(0.013 0.012 0.013)(0.11 0.12 0.11)2(0.013 0.012 0.011)(0.10 0.12 0.13)3(0.013 0.015 0.012)(0.12 0.10 0.11)4(0.011 0.013 0.013)(0.09 0.11 0.08)5(0.013 0.012 0.013)(0.10 0.12 0.08)6(0.011 0.013 0.013)(0.12 0.11 0.11)7(0.013 0.015 0.013)(0.12 0.09 0.08)8(0.012 0.013 0.011)(0.11 0.09 0.12)9(0.013 0.013 0.012)(0.10 0.12 0.11)10(0.013 0.013 0.012)(0.11 0.08 0.11)

5 結論

(1)提出了一種用于輪轂打磨的3-DOF并聯機械手，對機械手的機構進行了運動學和靜力學建模，通過矢量閉環方程獲得了機構的速度雅可比矩陣，并基于此推導出機構的驅動、約束力雅可比矩陣。

(2)分析了機械手的工作空間，在定義運動靈活性評價指標的基礎上對機構進行了運動靈活性分析，并計算出機構的各結構參數與其運動靈活性評價指標之間的關系；通過定義靜力承載性能指標對機構的靜力學性能進行了分析，并計算出機構的各結構參數與其靜力承載能力之間的關系；揭示了結構參數對機構的運動靈活性和靜力承載能力的影響規律。

(3)綜合考慮機構的各種性能評價指標，采用蒙特卡羅法建立出各結構參數的概率模型空間，選取一組綜合性能較好的結構參數：a=240 mm，b=80 mm，c=90 mm，e=600 mm，1、3鏈套筒和伸縮桿長度均為600 mm，2鏈套筒和伸縮桿長度均為380 mm。基于這組結構參數，設計了3-DOF并聯機械手，并研制出機械手的實驗樣機。

(4)采用一套高精度機器人力學標定系統對機械手實驗樣機進行了力學標定實驗，表明位置變形均小于0.015 mm，姿態變形均小于0.15°，通過實驗，驗證了本文提出的機械手的結構正確性。

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