整數(shù)最優(yōu)規(guī)劃在收入模型中的應(yīng)用

□衛(wèi)奕冰 張 喆

（延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 吉林 延吉 133000）

A、B、C、D 4 人需要完成甲、乙、丙、丁 4 種軟件的開發(fā)，這4個項(xiàng)目的收入費(fèi)用分別為1 000元、2 000元、3 000元、4 000元，分別安排 A、B、C、D 4人完成每個軟件不同階段的項(xiàng)目任務(wù)。完成甲項(xiàng)目，A需要用3 d，B需要用4 d，C需要用 2 d，D需要用3 d；完成乙項(xiàng)目，A需要用5 d，B需要用6 d，C需要用4 d，D需要用2 d；完成丙項(xiàng)目，A需要用5 d，B需要用6 d，C需要用7 d，D需要用4 d；完成丁項(xiàng)目，A需要用6 d，B需要用7 d，C需要用10 d，D需要用8 d。現(xiàn)在要對這4名軟件開發(fā)人員和4個項(xiàng)目進(jìn)行安排，使該公司實(shí)現(xiàn)1 a(365 d）內(nèi)的收入最大化。要完成以上任務(wù)，需要考慮兩方面因素。一方面，需要考慮完成一個項(xiàng)目總的時間和，以便將時間控制在規(guī)定的范圍內(nèi)。另一方面，這是一個收入最大化的問題，需要基于最優(yōu)規(guī)劃，建立合理的計算模型[1]。

1 多元最優(yōu)規(guī)劃模型的建立

基于項(xiàng)目數(shù)量，建立收入的目標(biāo)函數(shù)，即W=1 000x1+2 000x2+3 000x3+4 000x4

在上述公式中，W代表一年的收入，決策變量x1、x2、x3、x4分別代表 1 a內(nèi)所完成的甲、乙、丙、丁 4 個項(xiàng)目的工作量[2]。由于完成項(xiàng)目的天數(shù)有所限制，所以得到線性回歸方程組：

2 多元最優(yōu)規(guī)劃模型求解

在處理多元線性回歸方程組的過程中，由于最優(yōu)規(guī)劃模型與概率模型具有一定的聯(lián)系，所以可以采取隨機(jī)模擬的方法——蒙特卡羅法進(jìn)行求解[3]。通過生成一定量的隨機(jī)數(shù)，利用MATLAB進(jìn)行統(tǒng)計模擬與抽樣，從而獲得問題的最優(yōu)近似解。MATLAB蒙特卡羅法算法步驟如下[4]。

（1） 生成的 x1、x2、x3、x4分別位于 [0，30]、[0，20]、[0，16]、[0，11]的隨機(jī)數(shù)[5]。

（2）對生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行取整。

（3）利用枚舉法的思想，對產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行約束條件的迭代限制。

（4）不斷循環(huán)運(yùn)算，最終得到最優(yōu)解[6]。

經(jīng)過多次運(yùn)算后，得到了最優(yōu)解，即①x1=18，x2=20，x3=16，x4=11。②x1=16，x2=21，x3=16，x4=11。

3 結(jié)果分析

通過利用蒙特卡羅法進(jìn)行多次隨機(jī)模擬之后，得到最終結(jié)果：W=150 000

此時，出現(xiàn)了兩種工作安排方案。①甲、乙、丙、丁項(xiàng)目分別為 18、20、16、11。②甲、乙、丙、丁項(xiàng)目分別為16、21、16、11。利用Lingo對該最優(yōu)規(guī)劃問題進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)計算，得到與蒙特卡羅方法相同的結(jié)果，由此可以判斷，蒙特卡羅方法具有可靠性。

4 結(jié)束語

通過分析，可以通過建立合理的目標(biāo)函數(shù)與約束條件，利用蒙特卡羅方法求得整數(shù)解，實(shí)現(xiàn)收入最大化的目標(biāo)，為企業(yè)創(chuàng)造更多的利潤。