高中數學復合函數定義域和值域學習中易錯問題淺析

宿志強

（會寧二中，甘肅 會寧）

一、復合函數的定義、定義域和值域問題

抽象函數的定義：我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數。由于這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現.

記函數v=F（u）的定義域為u1，函數u=f（x）的值域為u2，記則以D為定義域，以F［f（x）］為對應法則的函數v=F［f（x）］叫做D上的復合函數.

為敘述方便，構成復合函數的每一次復合步驟所形成的函數，可形象地稱為該復合函數的一“層”函數，上述定義中的F（u）叫做f（x）的外層函數，u=f（x）叫做F（u）的內層函數或中間變量復合.

1.已知f（x）的定義域，求f［g（x）］的定義域

其解法是：若f（x）的定義域為a≤x≤b，則在f［g（x）］中，a≤g（x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f［g（x）］的定義域．

例1：已知y=f（x）的定義域為［-1，1］，求y=f（2x-1）的定義域.

解：由題意可知-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1，所以次函數的定義域為［0，1］.

2.已知f［g（x）］的定義域，求f（x）的定義域

其解法是：若f［g（x）］的定義域為m≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g（x）的范圍即為f（x）的定義域．

例2：已知f（2x-1）的定義域為［-1，1］，求f（x）的定義域.

解：由于-1≤x≤1，解得-3≤x≤1，因此f（x）定義域為［-3，1］.

3.運算型的抽象函數

求由有限個抽象函數經四則運算得到的函數的定義域，其解法是：先求出各個函數的定義域，然后再求交集．

例3：若f（x）的定義域為［-3，5］，求φ（x）=f（-x）+f（2x+5）的定義域．

解：可知-3≤-x≤5，因此-5≤x≤3.同時，-3≤2x+5≤5，可得-4≤x≤0.

因此，φ（x）的定義域為［-5，3］∩［-4，0］=［-4，0］

4.已知函數f［g（x）］的定義域，求函數f［h（x）］的定義域

其解法是，先由f［g（x）］的定義域，求出函數f（x）的定義域，再由f（x）的定義域，求出函數f［g（x）］的值域.

二、對數函數的學習過程中，關于求對數函數與二次函數的復合函數的定義域和值域的問題

具體模型是，設函數f（x）=logm（ax2+bx+c）（a≠0，m>0，且m≠1），二次方程ax2+bx+c=0對應的判別式△=b2+4ac.

（1）若函數f（x）的定義域為R，則a>0，且△<0；

（2）若函數f（x）的值域為R，則a>0，且△≥0.

例5設函數f（x）=log2（ax2+3x+5），其中a≠0

（1）若此函數的定義域為R，求a的取值范圍；（2）若此函數的值域為R，求a的取值范圍.

解：（1）由于此函數是復合函數，所以可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.f（x）=log2μ中μ>0，所以二次函數μ=ax2+3x+5的值域大于零，且x取遍所有實數，只需保證a>0，且△=9-20a<0.解得

（2）同理，可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.則f（x）=log2μ，由于f（x）取遍所有實數，所以μ取遍所有大于0的實數.因此必須保證函數μ=ax2+3x+5與平面直角坐標系中x軸有交點.則對應的判別式 △≥0.即有a>0，且 △=9-20a≥0.即

練習

1.已知函數y=f（x+1）的定義域是［-2，3］，求y=f（2x-1）的定義域.

解：依題可知 x+1∈［-1，4］，從而 2x-1∈［-1，4］，解得此函數的定義域為

2.已知y=f（x）的定義域為［-1，1］，求函數的定義域.