飽和多孔介質(zhì)板的吻合頻率和臨界頻率分析

周鳳璽, 高瀟麗

(1. 蘭州理工大學 土木工程學院，蘭州 730050； 2. 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050)

隨著城市交通、工業(yè)生產(chǎn)及工程建設(shè)等引起的噪聲污染問題日益加劇，對降噪措施的研究及設(shè)計已經(jīng)受到人們的廣泛關(guān)注，其中各類板結(jié)構(gòu)的振動聲輻射特性一直是研究的重點，并且板結(jié)構(gòu)聲學特性與其吻合頻率和臨界頻率密切相關(guān)。當某一頻率的聲波以一定的角度投射到板面上，若入射波的波長在板上的投影正好等于板的固有彎曲波波長，即空氣中的聲波在板上的投影與板的彎曲波吻合，這時聲波激發(fā)板材固有振動，由于彎曲剛度效應，使結(jié)構(gòu)的聲輻射能力大大增強，隔聲能力顯著下降，這種現(xiàn)象稱作吻合效應。 因入射角度的不同，會存在無數(shù)個吻合頻率，能產(chǎn)生吻合效應的最低入射頻率稱為“臨界吻合頻率”簡稱臨界頻率[1]。聲輻射能力在吻合頻率附近達到最大值，因而聲輻射在激勵力的頻率大于和小于臨界頻率時表現(xiàn)出的特性是不同的。所以,研究板結(jié)構(gòu)的聲輻射與隔聲性能,臨界頻率和吻合頻率是必須討論的內(nèi)容[2]。Yairi等[3]討論了力作用下雙葉彈性板的聲輻射，并研究參數(shù)對其的影響。Bhattacharya等[4]對聲波的吻合效應進行了較詳細的綜述，并通過有關(guān)的實驗解釋了有空腔的有限板，及無空腔的有限板的吻合效應現(xiàn)象。Tsugihashi等[5-6]采用結(jié)構(gòu)耦合分析技術(shù)，對有限方板的吻合現(xiàn)象的特點進行了解釋，并進行了仿真應用。這些成果進一步推進了隔聲中吻合效應的研究，為更深入地研究吻合效應奠定了堅實的基礎(chǔ)。Dupont等[7]比較了微穿孔板和柔性板在板厚、孔隙率等變化下吻合效應的變化情況。

Reynolds等[8-9]都詳細地討論了各向同性薄板的臨界頻率和吻合頻率。Heekl等[10-11]對厚板的臨界頻率和吻合頻率問題進行了一些研究。Heekl在傳聲損失中考慮了剪切作用,但是并沒有給出這種情況下的臨界頻率的公式。Narayanan等討論了考慮剪切剛度時板的吻合頻率,但是由于公式過于復雜,而不便于使用。Cremer等和Heckl采用了材料在兩個正交主方向上的彎曲剛度值,分別求出這兩個方向上的臨界頻率。Beranek[12]將兩個主方向臨界頻率的幾何平均值作為板的臨界頻率值。Renji等[13]給出了各向同性厚板和對稱復合材料厚板的臨界頻率和吻合頻率的基本公式，并討論了各向異性行為和剪切變形對吻合頻率和臨界頻率的影響。王海軍等針對工程應用中實際用到的各種尺寸、材質(zhì)的板,包括各向同性薄板、各向同性厚板(當板比較厚時就需要考慮剪切效應),各向異性薄板和各向異性厚板,得到了其臨界頻率和吻合頻率的計算公式，并總結(jié)了吻合效應與共振的本質(zhì)區(qū)別。

近年來，多孔介質(zhì)材料在巖土工程、 地球物理以及生物工程等領(lǐng)域有著廣泛的應用，自Biot等[14-15]提出描述飽和多孔介質(zhì)動力特征方程以來，國內(nèi)外許多專家學者從不同角度對飽和多孔介質(zhì)中波的傳播問題進行研究，包括多孔介質(zhì)動力響應問題的解析研究、數(shù)值模擬方法以及波的傳播特性等的研究。目前關(guān)于飽和多孔介質(zhì)波動問題的研究主要集中在幾何特征為無限半空間區(qū)域或有限厚度的巖土類材料，對于飽和多孔材料的吻合效應分析研究遠落后于對單相連續(xù)彈性介質(zhì)的研究[16]。

本文根據(jù)不可壓飽和多孔介質(zhì)理論和吻合效應機理，研究了不可壓含液飽和彈性板的吻合效應。對飽和多孔板的吻合頻率和臨界頻率的影響因素(板厚、孔隙率、滲透系數(shù)、入射角等)進行了分析，比較了不同孔隙率下飽和多孔板和彈性板的吻合頻率隨厚度和入射角的變化情況，分析結(jié)果對多孔材料板結(jié)構(gòu)在振動噪聲控制中的應用具有一定的指導意義。

1 形成吻合效應的條件

平面聲波以入射角θ向薄板透射時，在板內(nèi)除了脹縮波外，同時將激發(fā)產(chǎn)生彎曲波。如圖1所示，當入射聲波向右上方傳播時，板中產(chǎn)生向上傳播的彎曲波。設(shè)入射聲波的波前到達AC一線時，在板上A處開始振動，產(chǎn)生相應的彎曲波。經(jīng)過一定時間后，彎曲波傳播至板上B處。如果這時入射聲波的波前剛好也到達B，那么入射聲波和彎曲波在B處的相位完全一致，互相迭加后，B處的振動將得到加強。依次類推，隨著彎曲波向上的傳播，板振動將隨距離越來越強烈。這種現(xiàn)象叫做吻合效應，它是兩種類型的波動在空間迭加時相位上相互吻合的結(jié)果。可以看出，吻合效應與強迫振動過程中的共振現(xiàn)象是類似的，只是在共振中振動隨時間不斷加強，而在吻合效應中振動隨空間不斷加強。

圖1 斜入射時的彎曲波

當板產(chǎn)生吻合效應時，振動越來越強烈，但實際上板振動也不會無限制地增大。因為板內(nèi)部或多或少地存在阻尼，并且板振動輻射聲波也會產(chǎn)生輻射阻尼。這類似于振動系統(tǒng)受迫共振時，由于存在阻尼使振動振幅不會無限增大。

由圖1可知，產(chǎn)生吻合效應的條件

(1)

(2)

如果彎曲波的相速cb小于空氣中的聲速c0，sinθ將大于1，θ角相應為虛數(shù)，不會產(chǎn)生吻合效應；反之當cb≥c0時，取適當?shù)摩冉强偰軡M足產(chǎn)生吻合效應的條件。在實際隔聲問題中，聲場一般為擴散，因此這時總能產(chǎn)生吻合效應。由上可知，是否會產(chǎn)生吻合效應的分界點是cb=c0。對于給定的板，彎曲波的相速cb隨頻率增大，因此存在一定的頻率fcr，使相應的相速cb等于空氣中聲速c0。這個確定的頻率叫做板的臨界頻率。當聲波頻率f等于或大于臨界頻率fcr時，cb≥c0，存在相應的入射角θcr，使式(1)滿足。這個與頻率f相應的入射角θ叫做臨界角。

由上可知，當ffcr時，將產(chǎn)生吻合效應，板強烈振動，此時板中自由彎曲波將向外大量輻射聲，從而使板的聲輻射能力大大增加，隔聲性能(透射損失)也顯著變化。

2 飽和多孔薄板的臨界頻率和吻合頻率

考慮一含液飽和的平板置于xoy平面內(nèi)如圖2所示，采用Biot多孔介質(zhì)波動理論，考慮固相和液相不可壓縮，基于經(jīng)典板理論，其薄板的振動控制方程為[17]

(3)

圖2 波入射到平面上的示意圖

式(3)的解可以設(shè)為如下形式[18]

w=Aej(ωt-kxx-kyy)

(4)

將式(4)代入式(3)得到

(5)

(6)

如圖2所示，當波速為c0的入射波以入射角θ射到板上。將激勵起的彎曲波的波速是c0/sinθ。當它等于板上自由振動彎曲波的波數(shù)cb時，就會發(fā)生吻合效應,這時頻率就是吻合頻率。所以把cb=c0/sinθ代入式(6)中得到

(7)

求解式(7)，最終可得到吻合頻率的公式為

(8)

由式(6)不難看出，隨著入射聲波的入射角的不同，薄板有無數(shù)個吻合頻率。當θ=90°時，吻合頻率取最小值。所以，臨界頻率為

(9)

對于單相彈性薄板，式(8)和式(9)中不含ρf、kf項，且φ→0，此時，式(8)和式(9)可退化為

(10)

(11)

式(10)或式(11)與王海軍等的研究中給出的彈性薄板的吻合頻率和臨界頻率完全一致。

3 數(shù)值算例

為了對飽和多孔板的吻合頻率和臨界頻率進行參數(shù)分析，選取飽和多孔介質(zhì)的材料物理力學參數(shù)為：ν=0.25，ρs=2 660 kg/m3，ρf=1 000 kg/m3，E=3.6×108Pa，對于不同板厚h、不同入射角θ以及不同孔隙率φ、不同滲透系數(shù)kf下飽和多孔板的吻合頻率fc0進行分析。

圖3給出了孔隙率φ=0.1，滲透系數(shù)kf=1.9×10-5m4·N-1·s-1的條件下，不同入射角θ=30°,45°,60°,90°，板厚h=0.05～0.25 m下，飽和多孔板吻合頻率fc0的變化規(guī)律。從圖中可以看出，當飽和多孔板的密度ρ、 孔隙率φ、 滲透系數(shù)kf、入射角θ一定時，吻合頻率fc0隨著厚度h的增加非線性減小且變化速率逐漸變小；當改變?nèi)肷浣铅葧r，吻合頻率隨著入射角θ的增大而減小，當入射角θ=90°時，吻合頻率達到最小，為臨界頻率fcr；入射角以及板厚對吻合頻率和臨界頻率的影響比較明顯。

為了分析孔隙率φ，滲透系數(shù)kf對吻合頻率fc0的影響，取θ=30°，h=0.2 m，圖4給出了滲透系數(shù)在kf=10-1m4·N-1·s-1，10-3m4·N-1·s-1，10-6m4·N-1·s-1三種情況下，孔隙率φ=0.05～0.5時，飽和多孔板吻合頻率的變化曲線。可以看出，飽和多孔板的吻合頻率隨孔隙率的增加近似線性增加；孔隙率對吻合頻率的影響較明顯，而滲透系數(shù)的變化對飽和多孔板的吻合頻率幾乎沒有影響。

為了得出彈性板和飽和多孔板吻合頻率之間的關(guān)系，我們分別對比了不同孔隙率下飽和多孔板和彈性板的吻合頻率隨厚度、入射角的變化規(guī)律，如圖5、圖6所示。可以看出，彈性板的吻合頻率遠遠大于飽和多孔板的吻合頻率，且它們的吻合頻率隨板厚和入射角變化的趨勢相同，都隨板厚和入射角的增加非線性減小，彈性板的變化速率更大。

圖3 不同入射角下，吻合頻率隨厚度變化

Fig.3 Relations between plate thickness and coincidence frequency under different incident angle

圖4 不同滲透系數(shù)下，吻合頻率隨孔隙率變化

Fig.4 Relations between porosity and coincidence frequency under different permeability

圖5 吻合頻率隨板厚的變化

Fig.5 Relations between plate thickness and coincidence frequency

圖6 吻合頻率隨入射角的變化

Fig.6 Relations between incident angle and coincidence frequency

4 結(jié) 論

基于Biot飽和多孔介質(zhì)理論， 通過理論分析獲得了飽和多孔板吻合頻率和臨界頻率的計算公式，通過數(shù)值算例、參數(shù)分析，討論各影響因素對飽和多孔板吻合頻率和臨界頻率的影響規(guī)律，并對比了彈性板和不同孔隙率下飽和多孔板的吻合頻率，數(shù)值結(jié)果表明：

(1)飽和多孔板的厚度、入射角和孔隙率對吻合頻率的影響較大，滲透系數(shù)對飽和多孔板的吻合頻率幾乎沒有影響。

(2)飽和多孔板的吻合頻率隨板厚、入射角的增大而減小，隨孔隙率的增大而增大；當入射角等于90°時，吻合頻率最小，為臨界頻率。

(3)在相同條件下，彈性板的吻合頻率和臨界頻率總大于飽和多孔板的吻合頻率和臨界頻率，它們的吻合頻率隨厚度和入射角變化的趨勢相同。

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