考慮樁土相互作用的車橋耦合動力分析

喬 宏， 夏 禾， 杜憲亭

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

近些年來，隨著客運高速化、貨運重載化及城市軌道交通的巨大發(fā)展，車橋耦合問題已經(jīng)成為研究的熱點[1-4]。另外，大量國內(nèi)外研究也表明，作為橋梁結(jié)構(gòu)的重要組成部分，基礎(chǔ)對橋梁結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)有著不可忽視的影響，在設(shè)計與分析時應(yīng)充分考慮[5-8]。綜上所述，在研究橋梁，尤其是位于軟土地基上的橋梁在列車作用下的動力響應(yīng)時，考慮基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)的動力相互作用十分必要。

鐵路橋梁多為樁基礎(chǔ)。為研究樁土相互作用對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，李小珍等[9]將群樁基礎(chǔ)中的每根樁視為彈性地基梁，通過一系列彈性支撐實現(xiàn)樁與土之間的相互作用，通過樁與樁之間的影響系數(shù)體現(xiàn)群樁效應(yīng)，建立了包含樁基礎(chǔ)在內(nèi)的整體橋梁模型，但是該方法并沒有考慮到樁基礎(chǔ)阻抗函數(shù)的頻率相關(guān)性，而事實上，外部荷載的頻率對樁基礎(chǔ)的動力剛度有著十分重要的影響。陳令坤等[10]給出群樁樁頂處的樁土相互作用系統(tǒng)的動剛度和阻尼系數(shù)，采用簡化的樁底假定，基于空間梁單元有限元法，利用改進的Penzien模型建立了考慮樁土相互作用的列車-橋梁系統(tǒng)計算模型，分析了考慮樁土相互作用的車橋耦合系統(tǒng)的地震響應(yīng)，但是其過程需要建立全橋空間分析模型，較為繁瑣。邊學(xué)成[11]利用子結(jié)構(gòu)法，將車輛-橋梁-地基相互作用系統(tǒng)分成兩個子系統(tǒng)，通過樁基承臺上的共同結(jié)點將以上兩個子系統(tǒng)結(jié)合，在頻域內(nèi)求解方程，通過逆變換得到時域解來計算橋梁的動力響應(yīng)，其過程涉及時域和頻域之間的相互轉(zhuǎn)換，計算過程復(fù)雜。Yang等[12]利用有限元軟件，建立了完整的地震作用下地基-基礎(chǔ)-橋梁-列車有限元模型，通過并行計算，以一座斜拉橋為例，研究了地震動強度和列車的行駛速度對地震作用下車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)及行車安全性的影響，但是，其計算模型龐大，計算成本很高。因此，以上研究雖然在一定程度上考慮了土-結(jié)構(gòu)相互作用對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，但它們或多或少存在一些不足。

基于以上方法中的不足，本文提出了一種既能夠考慮阻抗函數(shù)頻率相關(guān)性又簡便高效的考慮樁土相互作用的車橋耦合動力分析模型，并且實現(xiàn)了整個計算過程的時域內(nèi)求解。首先，基于子結(jié)構(gòu)方法，將完整的列車-橋梁-樁基礎(chǔ)-地基相互作用模型分解為列車-橋梁相互作用子系統(tǒng)和樁基礎(chǔ)-地基相互作用子系統(tǒng)。通過連續(xù)時間有理近似將樁土相互作用子系統(tǒng)的阻抗函數(shù)用一個高階彈簧-阻尼-質(zhì)量模型表示。分別建立兩個子系統(tǒng)的運動方程，兩個子系統(tǒng)之間通過彼此的相互作用力聯(lián)系。編制計算程序，通過迭代計算求解系統(tǒng)的動力響應(yīng)。最后，以一輛8節(jié)編組的客車通過一座5跨簡支梁為算例，研究了樁土相互作用對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。

1 樁土模型及運動方程

樁基礎(chǔ)阻抗函數(shù)一般是頻率相關(guān)的，為了能夠?qū)锻料嗷プ饔米酉到y(tǒng)與車橋子系統(tǒng)聯(lián)系起來，就需要將頻域內(nèi)的阻抗函數(shù)轉(zhuǎn)化到時域內(nèi)。使用集總參數(shù)模型對其進行擬合是一種簡單有效的方法，近些年來被國內(nèi)外學(xué)者廣泛采用并不斷改進[13-15]。趙密等提出的一種帶有質(zhì)量的高階彈簧-阻尼-質(zhì)量模型，其運動方程可以利用顯示積分的方法進行求解，相較于其他模型，與車橋耦合動力方程進行迭代計算時更加方便，因此，在這里選用該集總參數(shù)模型模擬樁土相互作用子系統(tǒng)。模型由一個末端固定的并聯(lián)彈簧-阻尼系統(tǒng)和一個由n個阻尼器-質(zhì)量串聯(lián)而成的末端自由的系統(tǒng)組成，在橫向和豎向分別建立模型，可模擬橫向和豎向樁土相互作用，其示意圖如圖1所示。

該模型的運動方程可以表示為

(1)

(l=1,2,…,N)

(2)

式中：u0=u,uN+1=cN+1=0;f為車橋子系統(tǒng)對樁土相互作用子系統(tǒng)的作用力；u為基礎(chǔ)的位移；ul為模型中輔助內(nèi)自由度的位移；k,ml,cl(包括c0)分別為待確定的彈簧、阻尼和質(zhì)量參數(shù)，可根據(jù)文獻[16]中的方法進行求解。

圖1 集總參數(shù)模型示意圖

以上參數(shù)確定之后，該模型的運動方程可以整理為[17]

(3)

其中,

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2 車橋耦合分析模型及運動方程

如圖2所示為車橋耦合系統(tǒng)示意圖，它由橋梁子模型和車輛子模型組成，樁土相互作用子系統(tǒng)對其的作用則視為系統(tǒng)外力。

圖2 車橋耦合系統(tǒng)示意圖

在建立車橋系統(tǒng)運動方程時，引入如下假定：

(1)忽略軌道結(jié)構(gòu)的彈性變形，假設(shè)軌道運動與橋面運動相同；

(2)組成列車的8節(jié)車之間相互獨立，每節(jié)車都由車體、轉(zhuǎn)向架、輪對組成，且忽略車輛沿著列車行走方向的振動；

(3)列車通過橋梁時為勻速通過。

這樣，車輛子模型和橋梁子模型的運動方程可以分別表示為

(9)

(10)

為了更加明確地表示FB,F，將橋梁結(jié)構(gòu)分為上部結(jié)構(gòu)和支撐處兩部分，分別用下標s和b表示，則式(10)可以表示為

(11)

式中：ub即為樁基礎(chǔ)由于受到車橋耦合系統(tǒng)的作用力而產(chǎn)生的位移；反過來，由于橋梁支撐處出現(xiàn)了位移，使得車橋耦合子系統(tǒng)受到了以位移形式施加的來自于樁土子系統(tǒng)的作用力，即FB,F，因此，式(11)中，F(xiàn)B,F是以ub的形式體現(xiàn)出來的。

將式(11)中的第一行展開，可以得到橋梁上部結(jié)構(gòu)各節(jié)點的運動方程，即

(12)

對于集中質(zhì)量矩陣，式(12)中等號右邊的第三項變?yōu)?，且根據(jù)文獻[18]，等號右邊的第二項也可以不考慮。忽略以上兩項，引入振型分解法對上式進行解耦[19]，則可以得到

(i=1,2,…,n)

(13)

式中：φi和qi分別為第i階質(zhì)量歸一化后的振型和廣義坐標；ωi為第i階圓頻率;n為分析中所用到的橋梁模態(tài)數(shù);R為位移影響矩陣，按式(14)計算

(14)

式(3)、式(9)和式(13)構(gòu)成了列車-橋梁-樁基礎(chǔ)-地基系統(tǒng)動力平衡方程組，編制相應(yīng)的計算程序，通過迭代求解即可得到考慮樁土相互作用的車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

3 求解流程

如前所述，式(3)、式(9)和式(13)組成了列車-橋梁-樁基礎(chǔ)-地基系統(tǒng)動力平衡方程組，彼此之間通過相互作用力聯(lián)系。在求解時，可分別求解兩個子系統(tǒng)的動力響應(yīng)，但是由于每個子系統(tǒng)所受到的作用力與另一個子系統(tǒng)的動力響應(yīng)有關(guān)，因此求解時需要進行時間步內(nèi)的迭代，只有在每個時間步內(nèi)兩個子系統(tǒng)的動力響應(yīng)均滿足收斂條件后才能進行下一個時間步內(nèi)的迭代。具體的求解流程如圖3所示。

關(guān)于以上求解流程，有幾點需要說明：

(a) 每一個時間步內(nèi)，車橋耦合子系統(tǒng)和樁土子系統(tǒng)的動力響應(yīng)均利用Newmark-β方法計算得到。

(b) 樁土子系統(tǒng)對車橋耦合子系統(tǒng)的作用力通過位移的形式施加，而車橋耦合子系統(tǒng)對樁土子系統(tǒng)的作用力則通過影響線獲得。

(c) 每一時間步內(nèi)，兩個子系統(tǒng)的動力響應(yīng)均滿足收斂條件后才可以進行下一時間步的迭代，收斂標準為

(15)

式中：E為相對誤差，可取值為0.01%；u為位移向量；上標i和i-1分別為本次和上次迭代。

4 算 例

以一列8節(jié)編組的客車通過總長為80 m的實際橋梁為算例，分析樁土相互作用對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。

4.1 橋梁及列車參數(shù)

如圖4所示為分析中所使用的橋梁模型示意圖。該橋為單線鐵路橋，位于天津某鐵路線上，由5座跨度為16 m的簡支梁橋組成。橋梁梁體采用雙T截面，梁高為1.6 m。橋墩為直徑2.2 m的單圓柱橋墩，橋墩高度分別為4 m、6 m、6 m、4.5 m、4 m和4.5 m。

圖3 計算程序流程

圖4 橋梁示意圖(單位：m)

建立橋梁三維有限元模型，如圖5所示。選取橋梁前30階模態(tài)(頻率范圍：8.5～37.2 Hz)進行車橋耦合分析，分析時各階模態(tài)阻尼比均假設(shè)為0.025。

圖5 橋梁有限元模型

車輛模型選取一列8節(jié)編組的客車，并假設(shè)各節(jié)車輛參數(shù)相同，車輛參數(shù)參見文獻[20]。依據(jù)達朗貝爾原理推導(dǎo)其質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，形成運動方程。

輪軌關(guān)系采用密貼假定，軌道不平順選取某實測不平順數(shù)據(jù)，其水平不平順如圖6所示。

圖6 軌道水平不平順

4.2 樁基礎(chǔ)及周圍土體參數(shù)

該橋梁基礎(chǔ)為2×2群樁基礎(chǔ)，樁徑為1 m，樁長為35 m，其平面布置如圖7所示。基礎(chǔ)承臺尺寸為5 m×5 m×2 m并完全埋置于土中。橋梁所在場地土層性質(zhì)基本相同加之橋梁跨度不大，因此，假設(shè)各基礎(chǔ)所在位置土體參數(shù)完全相同，如圖8及表1所示。

圖7 樁基礎(chǔ)平面布置

圖8 土層分布

基于以上樁基礎(chǔ)及其周圍的土體參數(shù)，可以得到樁基礎(chǔ)的豎向和橫向阻抗函數(shù)如圖9中的實線所示。其中，前者表示樁的動剛度，后者則表示由于樁的振動在樁身周圍的土體中向無限遠場輻射振動能量時所產(chǎn)生的幾何阻尼[21]。

表1 土層參數(shù)

以上得到的阻抗函數(shù)是頻率相關(guān)的，為了將其用圖1所示的集總參數(shù)模型表示出來并建立時域內(nèi)的運動方程，需要首先將該阻抗函數(shù)進行連續(xù)時間有理近似，如式(16)所示

(16)

在近似過程中，目標函數(shù)的精度和穩(wěn)定性是兩個非常重要的標準。為實現(xiàn)上述目標，在這里選用趙密等提出的基于線性系統(tǒng)理論的穩(wěn)定性條件和非線性優(yōu)化的遺傳-單純形算法來對目標阻抗函數(shù)進行擬合。設(shè)置有理近似的階數(shù)N=5，在擬合過程中對目標函數(shù)設(shè)置罰函數(shù)以確保穩(wěn)定性條件，擬合結(jié)果如圖9中的虛線和表2所示。

(a) 豎向

(b) 橫向

Fig.9 Comparison between the impedance functions and approximated ones of the 2×2 pile foundation

從圖9中實線和虛線的對比情況可以看出，在滿足穩(wěn)定性條件的前提下，該組參數(shù)擬合效果很好，滿足計算精度要求。

基于表2中的參數(shù)，依據(jù)式(3)，建立樁土相互作用子系統(tǒng)的運動方程。

表2 擬合參數(shù)Fig.2 Fitting parameters

4.3 分析結(jié)果

基于以上分析分別建立車橋耦合子系統(tǒng)和樁土相互作用子系統(tǒng)的運動方程，設(shè)置分析車速V=160 km/h，依據(jù)圖3中的流程進行考慮樁土相互作用的車橋耦合系統(tǒng)動力分析。

分析時，如前文所述，設(shè)置收斂標準E=0.01%，通過計算，每一個時間步內(nèi)的迭代次數(shù)不超過7次，如圖10所示。

圖10 計算迭代次數(shù)(V=160 km/h)

如圖11和圖12所示為考慮與不考慮樁土相互作用條件下，第一跨簡支梁跨中的位移時程和加速度時程的對比圖。

(a)豎向(b)橫向

圖11 考慮/不考慮樁土相互作用時橋梁位移時程

Fig.11 Displacement time histories of the bridge with/without considering soil-pile interaction

(a)豎向(b)橫向

圖12 考慮/不考慮樁土相互作用時橋梁加速度時程

Fig.12 Acceleration time histories of the bridge with/without considering soil-pile interaction

從圖中可以看出，考慮樁土相互作用以后，橋梁豎向位移和加速度均有所增加，其幅值分別為不考慮樁土相互作用時幅值的1.16倍和1.11倍，說明了在進行車橋耦合動力分析時應(yīng)考慮樁土相互作用，否則會造成橋梁的豎向動力響應(yīng)被低估。和豎向響應(yīng)相反，車速為160 km/h情況下，考慮樁土相互作用以后，橋梁的橫向位移和加速度均有所減小，其幅值分別變?yōu)椴豢紤]樁土情況下的0.88和0.90。

如圖13所示為考慮與不考慮樁土相互作用條件下，列車第一節(jié)車的車體加速度時程對比圖。從圖中可以看出，樁土相互作用對列車動力響應(yīng)影響并不明顯，考慮樁土相互作用后的車體豎向和橫向加速度峰值分別為不考慮時相應(yīng)值的1.027倍和1.004倍。

(a)豎向(b)橫向

圖13 考慮/不考慮樁土相互作用時車體加速度時程

Fig.13 Acceleration time histories of the 1st car-body with/without considering soil-pile interaction

如圖14所示為考慮與不考慮樁土相互作用條件下，橋梁豎向和橫向位移最大值隨車速的變化情況。從圖中可以看出，兩種情況下，橋梁豎向和橫向位移最大值隨車速的變化規(guī)律相同；車速相同時，考慮樁土相互作用后，橋梁豎向位移幅值明顯增大，而橫向位移幅值則在不同車速條件下呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律，但是總的來說，相比于豎向位移幅值，考慮樁土相互作用以后，橫向位移幅值的變化幅度要小得多，這可能是由于橫向激勵只有軌道不平順的緣故。

(a)豎向(b)橫向

圖14 考慮/不考慮樁土時橋梁位移幅值隨車速變化

Fig.14 Comparison of maximum bridge displacements with/without considering soil-pile interaction

如圖15所示為考慮與不考慮樁土相互作用條件下，車體加速度最大值隨車速的變化情況。從圖中可以看出，兩種情況下，車體豎向和橫向加速度最大值隨車速的變化規(guī)律也基本相同；車速相同時，考慮樁土相互作用后，車體豎向加速度幅值稍有增大，而橫向加速度則在不同車速條件下呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律。

(a)豎向(b)橫向

圖15 考慮/不考慮樁土相互作用時車體加速度幅值隨車速變化

Fig.15 Comparison of maximum car-body accelerations with/without considering soil-pile interaction

5 結(jié) 論

本文建立了完整的列車-橋梁-樁基礎(chǔ)-地基系統(tǒng)動力分析模型，并在模型中考慮了樁土相互作用系統(tǒng)的頻率相關(guān)性。以一列8節(jié)編組的列車通過5跨簡支梁為算例，研究了樁土相互作用對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。依據(jù)上述理論分析和本文中算例的計算結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：

(1)當列車行駛速度在80～160 km/h內(nèi)變化時，考慮樁土相互作用以后，車橋耦合系統(tǒng)的豎向動力響應(yīng)均增大，橫向動力響應(yīng)在某些列車行駛速度條件下也有所增加。因此，在進行車橋耦合動力分析時應(yīng)充分考慮樁土相互作用的影響，否則會導(dǎo)致計算結(jié)果偏于不安全。

(2)相較于車輛子模型，樁土相互作用對橋梁子模型動力響應(yīng)的影響更加明顯。

(3)本文算例中，相較于橋梁橫向動力響應(yīng)，樁土相互作用對橋梁子模型豎向動力響應(yīng)的影響更加明顯。

[1] XIA H, DE ROECK G, GOICOLEA J M. Bridge vibration and controls: new research[M]. New York: Nova Science Publishers Inc., 2011.

[2] 翟婉明, 夏禾. 列車-軌道-橋梁動力相互作用理論與工程應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2011.

[3] LIU K, DE ROECK G, LOMBAERT G. The effect of dynamic train-bridge interaction on the bridge response during a train passage[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 325(1): 240-251.

[4] 杜憲亭, 夏禾, 張?zhí)? 等. 基于精細Runge-Kutta混合積分法的車橋耦合振動非迭代求解算法[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(13): 39-42.

DU Xianting, XIA He, ZHANG Tian, et al. Non-iterative algorithm for coupled vibration of a train-bridge system based on precise Runge-Kutta hybrid integration method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(13): 39-42.

[5] MYLONAKIS G, GAZETAS G. Seismic soil-structure interaction: beneficial or detrimental?[J]. Journal of Earthquake Engineering, 2000, 4(3): 277-301.

[6] CARBONARI S, DEZI F, LEONI G. Seismic soil-structure interaction in multi-span bridges: application to a railway bridge[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2011, 40(11): 1219-1239.

[7] 宋波, 劉泉, 李凡凡, 等.考慮樁土相互作用的大跨度鋼拱橋地震反應(yīng)分析[J]. 北京科技大學(xué)學(xué)報, 2009, 31(9): 1077-1085.

SONG Bo, LIU Quan, LI Fanfan, et al. Influence of soil-pile interaction on the seismic response analysis of a large-span steel arch bridge[J]. Journal of University of Science and Technology Beijing, 2009, 31(9): 1077-1085.

[8] 賀星新, 李愛群, 李建慧, 等. 土-樁-結(jié)構(gòu)相互作用對獨塔自錨式懸索橋地震響應(yīng)的影響[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2014, 44(1): 150-154.

HE Xingxin, LI Aiqun, LI Jianhui, et al. Influence of soil-pile-structure interaction on seismic response on self-anchored suspension bridge with single-tower[J]. Journal of Southeast University (Natural Science), 2014, 44(1): 150-154.

[9] 李小珍, 劉孝寒, 劉德軍. 考慮樁-土相互作用的連續(xù)剛構(gòu)橋車橋耦合振動分析[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(2)：54-58.

LI Xiaozhen, LIU Xiaohan, LIU Dejun. Coupled vibration analysis of a railway continuous rigid-frame bridges and vehicles with soil-structure interaction[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(2)：54-58.

[10] 陳令坤, 蔣麗忠, 陶磊, 等. 考慮樁-土作用的高速列車-橋梁地震響應(yīng)分析[J]. 巖土力學(xué), 2012, 33(10): 3162-3170.

CHEN Lingkun, JIANG Lizhong, TAO Lei, et al. Seismic response analysis of high-speed vehicle-bridge considering soil-structure interaction[J]. Rock and Soil Mechanics, 2012, 33(10): 3162-3170.

[11] 邊學(xué)成. 高速列車荷載作用下高架橋和地基振動分析[J]. 振動工程學(xué)報, 2006, 19(4): 438-445.

BIAN Xuecheng. Analysis of viaduct-ground vibrations due to high-speed train moving loads[J]. Journal of Vibration Engineering, 2006, 19(4): 438-445.

[12] YANG X, WANG H H, JIN X L. Numerical analysis of a train-bridge system subjected to earthquake and running safety evaluation of moving train[J]. Shock and Vibration, 2016(3)：1-15.

[13] WOLF J P. Consistent lumped-parameter models for unbounded soil: physical representation[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1991, 20(1):11-32.

[14] WU W H, LEE W H. Nested lumped-parameter models for foundation vibrations[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2010, 33(9): 1051-1058.

[15] 劉偉慶, 王海, 王曙光, 等. 群樁基礎(chǔ)阻抗函數(shù)的集總參數(shù)模型研究[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(11): 249-253.

LIU Weiqing, WANG Hai, WANG Shuguang. Lumped-parameter model of pile group impedance function[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(11): 249-253.

[16] 趙密, 杜修力.時間卷積的局部高階彈簧-阻尼-質(zhì)量模型[J]. 工程力學(xué), 2009, 26(5): 8-18.

ZHAO Mi, DU Xiuli. High-order model of spring-dashpot-mass model for localizing time convolution[J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(5): 8-18.

[17] 杜修力. 工程波動理論與方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2009.

[18] WILSON E L. Three-dimensional static and dynamic analysis of structures: a physical approach with emphasis on earthquake engineering[M]. California: Computer and Structures Inc., 2002.

[19] DU X T, XU Y L, XIA H. Dynamic interaction of bridge-train system under non-uniform seismic ground motion[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2012, 41(1): 139-157.

[20] XIA H. Dynamic interaction of long suspension bridges with running trains[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 237(2): 263-280.

[21] 欒茂田, 孔德森. 單樁豎向動力阻抗計算方法及其影響因素分析[J]. 振動工程學(xué)報, 2004, 17(4): 500-505.

LUAN Maotian, KONG Desen. Simplified computation model and parametric studies of vertical dynamic impedance for single pile[J]. Journal of Vibration Engineering, 2004, 17(4): 500-505.