數學史的滲透對復變函數課程教學效果的促進

趙宏艷

摘 要：復變函數與積分變換是工科類學生的專業基礎課。它的承接性很強、研究價值很高同時應用范圍極廣。然而，學生們在學習過程中的問題較多。部分學生感到高深難懂，學起來畏縮不前;部分學生視其為高等數學的重復，感覺食之無味;還有部分學生認為它脫離現實，如空中樓閣，學而無用。作者在教學過程采用滲透教學史的方法，適當穿插相關史實，既活躍了課堂氣氛，又豐富了學生的數學體驗，加深了學生的課堂記憶。結果表明，該方法取得了較好的教學效果。

關鍵詞：復變函數;積分變換;課堂教學;數學史

中圖分類號：O174.5

文獻標識碼：A

復變函數與積分變換是工科專業學生的重要的專業基礎課。這門課的主要內容是電子電氣、信息工程、熱學和流體力學類專業課的基礎，因此，在專業學習中具有舉足輕重的地位。然而，筆者在教學過程中發現，學生在學習時存在著較多問題。本文接下來將從學生反映的主要問題出發，針對特定問題，給出具體的數學史范例和講解過程，詳細介紹該史實與知識點的邏輯關聯以及教學效果。最后給出結論。

問題一： 部分學生反映，高等數學的函數、導數等都可以有直觀解釋，而復數似乎沒有直觀對應，接受和理解上有難度。

對策：穿插講解復數的由來和整個復變函數體系的發展過程，會收到較好的課堂效果。復數、虛數這兩個名詞，都是人們在解方程時引入的。1545年，意大利米蘭數學家卡爾丹發表了《關于代數的大法》一書，公布了三次方程的一般解法，第一次將負數的平方根寫到公式中。在卡爾丹發表著作約100年后，在1637年，法國數學家笛卡爾寫了《幾何學》一書，使得虛數這個名稱流傳于世。又過了約140年，在1777年，德國數學家歐拉在《微分公式》一書中首創了用符號i 作為虛數的單位。30年后，在1806年，德國數學家高斯公布了虛數的圖像表示法。又過了約30年，還是高斯，首提“復數”。至此，復數理論才完整系統地建立起來。

負數開方的提出到完整復數理論的建立，經歷了近三百年的時光，是卡爾丹、笛卡爾、歐拉、高斯等數學家們前赴后繼、辛勤耕耘的成果。詳細了解這一史實后，學生們容易產生共鳴，既有來之不易的珍惜感，又有能與久仰其名的偉人名家的思想比肩而行的驕傲感。無論是哪種情感，灌注在書本里，冰冷的文字就會變得鮮明生動，理解并記憶也就容易得多。

問題二： 復變函數的概念、復積分、復級數涉及的部分概念和公式與高等數學一致，一些學生反映，這些內容無非是高等數學的重復。

對策：對于這種情況，可以適當講解些二者不同之處，加強辨析。復變函數以解析函數作為主要研究對象，柯西-黎曼定理是復變函數論的重要內容之一，該定理也被稱為達朗貝爾-歐拉方程[1]。早在1752年，達朗貝爾就已經發現了這兩個方程，并將它們寫進了他的一篇關于流體力學的論文中。25年后，1777年，歐拉向彼得堡科學院提交了一篇論文，論文中考慮了一類復變函數的積分，這類函數滿足上述兩個方程。這兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，分別作了更詳細的研究，通過不同的推導方法得到該方程組與復變理論之間的重要聯系。這個定理的出現，揭示了復變函數可導和實函數可導的根本不同。復函數要想可導，實部虛部需要滿足比較嚴苛的條件，而實函數則不用。復函數從本質上是兩個函數共同作用的結果，研究起來自然要比實函數更為復雜。

通過史實來解釋基本概念上的差異，可以讓學生清楚地認識到復變函數絕對不是高等數學的簡單重復，它從最基礎的研究對象開始，就已經構建了與實變函數完全不同的結構體系。

問題三：有些學生反映，復變函數與積分變換脫離我們的現實生活，無法實際應用。

對策：復變函數與積分變換有較為復雜的應用領域，如飛機機翼的結構問題的解決[2]。但它的應用絕不僅限于此，復變函數在通信領域有廣泛的應用。快速傅里葉變換（FFT）使數字信號處理從理論走向實用，FFT 的出現大大減少了離散傅立葉變換的運算量，使實時的數字信號處理成為可能，極大促進了該學科的發展。所以，不管是我們使用家用電器，用手機問候遠方的朋友，還是使用衛星電視觀看電視劇，我們無時無刻不在接觸著這位很抽象而無處不在的朋友——復變函數。

通過對學生的反饋進行深入分析，筆者將問題主要歸納為三個方面，站在學生的角度從學科的抽象性、內容與高等數學部分相似性以及應用領域的難以理解等方面進行闡述，提出引入數學史的辦法，介紹了具體的數學史實，針對以上三個問題充分展開，提供了解決思路和方法。實踐表明，結合數學史學習復變函數與積分變換課程取得了良好的教學效果，值得推廣。

參考文獻：

[1]李躍武，周瑞宏. 從歷史的角度引入柯西-黎曼方程[J].高等數學研究，2009（4）：121-123.

[2]鐘玉泉.復變函數論（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.