避開(kāi)分類(lèi)有妙招

學(xué)完“一次函數(shù)”后，老師讓我們對(duì)課本“小結(jié)與思考”后的復(fù)習(xí)題進(jìn)行思考，其中一道題是這樣的：

已知一次函數(shù)y=2x+b.（1）它的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積等于4，求 b的值；（2）它的圖像經(jīng)過(guò)一次函數(shù)y=-2x+1與y=x+4圖像的交點(diǎn)，求b的值.

我的思考：第（1）題，先畫(huà)出一次函數(shù)y=2x+b的圖像，根據(jù)圖像與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的形狀，再考慮圖形面積的求法.由于函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=2x+b中b的值未知，我想到按b>0，b=0，b<0三種情形分類(lèi)，如圖1所示.

觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，b=0時(shí)的圖像不滿(mǎn)足“圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積等于4”，b>0與b<0時(shí)的圖像符合題意，并且圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形都是直角三角形.下面便要考慮求直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)，可轉(zhuǎn)化為求圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)一次函數(shù)y=2x+b的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，則有A（-[12]b，0），B（0，b）.

當(dāng)b>0時(shí)，如圖2，則OA=[12]b，OB=b.由題意得S△OAB=4.∴[12]OA·OB=4，解得b=4（舍去-4）.

[圖2 圖3]

當(dāng)b<0時(shí)，如圖3，則OA=-[12]b，OB=-b.∴[12]×（-[12]b）×（-b）=4.解得b=-4（舍去4）.

綜上，b的值為±4.

做完后，我想起了老師對(duì)我們的要求：要進(jìn)行解題反思.仔細(xì)回顧后我發(fā)現(xiàn)，b>0與b<0兩種情形的解題過(guò)程類(lèi)似，只是表示線(xiàn)段OA、OB長(zhǎng)的代數(shù)式的符號(hào)不同，符號(hào)起什么作用呢？我沉思起來(lái). 對(duì)了，線(xiàn)段OA、OB的長(zhǎng)必須是正數(shù)，符號(hào)原來(lái)是確保線(xiàn)段長(zhǎng)為正啊！那么能不能將兩種情形統(tǒng)一起來(lái)，不分類(lèi)求解呢？我又思考起來(lái)，翻閱起課外輔導(dǎo)資料……

有了！絕對(duì)值不能為負(fù)，可以將線(xiàn)段長(zhǎng)用絕對(duì)值表示，我高興地叫出聲來(lái).

于是我再次解答：設(shè)一次函數(shù)y=2x+b的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，則有A（-[12]b，0），B（0，b）.∴OA=[-12b]=[12][b]，OB=[b].由題意得S△OAB=4.∴[12]OA·OB=4，即[12]×[12][b]×[b]=4.∴[b]2=16，即b2=16.解得b=±4.

解法優(yōu)化后，甭提我有多高興了，我心里樂(lè)滋滋地盤(pán)算著：明天課堂講題，一定要講出我的風(fēng)采！

教師點(diǎn)評(píng)：孫濤同學(xué)探究了“已知圖形面積求一次函數(shù)關(guān)系式”問(wèn)題的解法，不僅給出了自然、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎挤椒ǎ液芎玫厥痉读巳绾巫鲱}，特別是各個(gè)思考環(huán)節(jié)的做法、主動(dòng)學(xué)習(xí)（翻閱課外資料）的精神、對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧與反思的學(xué)習(xí)方法、愿與同學(xué)分享的學(xué)習(xí)品質(zhì)很值得同學(xué)們學(xué)習(xí).解題反思環(huán)節(jié)往往是思維提升的過(guò)程.

（指導(dǎo)教師：王云峰）