建構(gòu)數(shù)學(xué)模型 感悟模型思想

江蘇海安縣南莫鎮(zhèn)中心小學(xué)（226681）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確將“模型思想”列為核心概念之一。廣義地說，數(shù)學(xué)就是一種模型科學(xué)。無論是數(shù)學(xué)的概念、公式，還是數(shù)學(xué)的定理、公理等，都可以稱為模型。狹義地理解，數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。某種意義上，學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程就是經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生需要充分調(diào)動(dòng)自己的感官進(jìn)行觀察、思維、想象等，需要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行提煉、抽象、概括等。數(shù)學(xué)模型是抽象的，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)的模型，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)模型的思想。

一、聚類抽象，豐厚數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)表象

數(shù)學(xué)模型不是對(duì)個(gè)別數(shù)學(xué)對(duì)象特征的反映，而是具有“類”的特征。將眾多數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)材料和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象、概括，形成具有本質(zhì)屬性的模型，是模型建構(gòu)的一般形式。為此，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要豐富學(xué)生的表象積累，為學(xué)生培育數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的土壤，讓學(xué)生從多維度、多側(cè)面、多視角、多方位感知一類事物共同具有的特征或者數(shù)量關(guān)系，從而為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于行程、工程等問題的數(shù)量關(guān)系通常只停留在記憶的層面上，沒有形成有意義的數(shù)學(xué)模型。為此，筆者向?qū)W生提供了幾種不同類型的數(shù)量關(guān)系的問題，如“一支鋼筆的價(jià)錢是15元，買5支鋼筆，一共需要多少元？”“飛機(jī)每小時(shí)飛行1200千米，3小時(shí)飛行多少千米？”“修一條公路，甲隊(duì)每天修200米，5天一共修了多少米？”學(xué)生在解決問題的過程中，有的根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和題目中的已知條件解決問題；有的根據(jù)“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”“速度、時(shí)間和路程”“工效、工時(shí)和工總”的數(shù)量關(guān)系解決問題。在學(xué)生解決問題后，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度比較：這些題目有什么共同特征？學(xué)生朦朧地感覺到“每支鋼筆15元”“每小時(shí)飛行1200千米”“每天修200米”都具有相似的特征。那么，這種具有相似特征的數(shù)量在數(shù)學(xué)上叫作什么呢？有學(xué)生認(rèn)為都是表示“每什么”，有學(xué)生認(rèn)為都是表示“單位數(shù)量”，還有學(xué)生認(rèn)為都是表示“1份數(shù)量”，等等。在此基礎(chǔ)上，筆者揭示“每份數(shù)”“份數(shù)”“總數(shù)量”的概念。由于有了數(shù)學(xué)素材的支撐，學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)表象。這樣的學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象化過程，深刻理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)模型是對(duì)某類事物特征或者數(shù)量關(guān)系形式化、抽象化、符號(hào)化的概括。數(shù)學(xué)模型所表征和確證的數(shù)學(xué)對(duì)象是豐富的。因此，教師要讓學(xué)生對(duì)一類事物的特征或者數(shù)量關(guān)系充分地想、充分地說、充分地做，進(jìn)而舍棄事物的非本質(zhì)屬性與特征，提取事物的本質(zhì)屬性和特征，用數(shù)學(xué)的語言抽象、概括或者近似地表達(dá)出來，就能讓學(xué)生水到渠成地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

二、原型啟發(fā)，引領(lǐng)數(shù)學(xué)模型的有效過渡

學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并非一蹴而就的，而是有一個(gè)數(shù)學(xué)化、形式化和公理化的抽象概括過程。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出，要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”。數(shù)學(xué)模型源于生活世界中的原型且高于生活世界中的原型，但生活世界中的原型卻能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。因此，教師應(yīng)當(dāng)重視并引導(dǎo)學(xué)生從生活原型過渡到數(shù)學(xué)模型。

例如，教學(xué)蘇教版教材第7冊(cè)“垂線和平行線”時(shí)，有些教師盡管多次強(qiáng)化畫垂線和平行線的操作要領(lǐng)，但學(xué)生在具體操作時(shí)還是覺得無所適從，不知道如何擺放三角尺。如何突破這樣的教學(xué)難點(diǎn)？畫垂線和平行線的操作模型在生活中有原型嗎？如何讓學(xué)生從畫垂線和平行線中獲得一般的操作啟示，甚至能夠?qū)⑵溆行нw移到“畫三角形的高”“畫平行四邊形的高”呢？為此，筆者運(yùn)用“問題串”著重對(duì)畫平行線進(jìn)行導(dǎo)學(xué)：①經(jīng)驗(yàn)摸底：根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，怎樣畫平行線？（學(xué)生想到了用等寬的直尺描、用直尺移等）②理性審視：用等寬的直尺描比較精確，但只能畫固定距離的平行線；借助直尺移動(dòng)很方便，但是移的過程中容易發(fā)生歪斜的現(xiàn)象。③原型展示：多次演示“開關(guān)窗戶”的動(dòng)畫，引發(fā)學(xué)生深度思考。④原型啟發(fā)：能不能也像開關(guān)窗戶一樣造一個(gè)軌道，讓直尺在平移時(shí)有一個(gè)依靠？⑤模型建構(gòu)：怎樣畫垂線？怎樣畫平行線？經(jīng)過討論、交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)畫垂線時(shí)，已知直線就是軌道，直尺或者三角形可以直接在直線上平移；畫平行線時(shí)，可以讓三角尺的一條邊和已知直線重合，以固定的另一條邊為軌道，讓三角尺或者直尺在這個(gè)軌道上移動(dòng)。如此，學(xué)生通過生活原型，成功地建構(gòu)了“畫平行線”“畫垂線”的操作模型。

通過學(xué)生的理性概括，學(xué)生理解了畫垂線、畫平行線“為什么要建軌道？”“怎樣建軌道？”以及“用什么建軌道？”等一系列問題。教師充分運(yùn)用生活原型的可靠性和直觀性，引導(dǎo)學(xué)生突破了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從生活原型到數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的有效過渡。同時(shí)，還消除了生活原型對(duì)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的干擾，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解。

三、符號(hào)概括，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的意義建構(gòu)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程必須經(jīng)歷從“感性”到“理性”，再到“運(yùn)用”的過程。許多數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)來確證和表征的，因此教學(xué)中教師要給學(xué)生提供運(yùn)用符號(hào)的機(jī)會(huì)，甚至讓學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)。如此，充盈數(shù)學(xué)符號(hào)的模型意義，讓學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行概括，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)模型的意義和價(jià)值。

例如，作為三大運(yùn)算律之一的“乘法分配律”，溝通了乘加、乘減之間的關(guān)系，其形式上的變化和特殊的結(jié)構(gòu)，給學(xué)生造成了一定的認(rèn)知障礙。教學(xué)中，筆者讓學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)進(jìn)行概括，引導(dǎo)學(xué)生走出思維窠臼。首先，通過情境問題“四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩。四、五年級(jí)一共要領(lǐng)多少根跳繩？”引導(dǎo)學(xué)生解決問題。有學(xué)生先算一共有幾個(gè)班，再算一共需要多少根跳繩；有學(xué)生先算四、五年級(jí)各需要多少根跳繩，再算一共需要多少根跳繩。學(xué)生認(rèn)識(shí)到，盡管方法不同，但都解決了問題。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生就能用等號(hào)將兩種計(jì)算方法聯(lián)結(jié)在一起。其次，引導(dǎo)學(xué)生從乘法意義的視角對(duì)這兩個(gè)算式進(jìn)行詮釋：左邊先算什么？表示幾個(gè)24？右邊先算什么？表示幾個(gè)24？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管解決問題的方式不同、計(jì)算順序不同，但意義是相同的，結(jié)果是相同的。那么，是否具有這樣特點(diǎn)的算式一定能夠組成等式呢？最后，讓學(xué)生自主創(chuàng)造等式，并展開積極主動(dòng)的驗(yàn)證。從單個(gè)例子的等式關(guān)系，到創(chuàng)造更多例子的等式關(guān)系，學(xué)生在豐富例證的過程中習(xí)得了科學(xué)的探究策略。在這過程中，他們主動(dòng)運(yùn)用各種符號(hào)建模，如“（☆+△）×□=☆×□+△×□”“（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙”“（a+b）×c=a×c+b×c”等。對(duì)于這樣的符號(hào)表達(dá)，學(xué)生還能說出其意義，如“☆個(gè)□加上△個(gè)□等于（☆+△）個(gè)□”“a個(gè)c加上b個(gè)c等于（a+b）個(gè)c”等?？梢?，教師引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用符號(hào)、創(chuàng)造符號(hào)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，就能夠讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)模型思想。

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。通過自主探索，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行抽象、概括，提煉成數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生不僅“知其然”，更“知其所以然”。經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，學(xué)生無論是知識(shí)結(jié)構(gòu)還是解決問題的能力都有了質(zhì)的飛躍，學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力以及核心素養(yǎng)都得到了最大限度的提升。