中學數列中的探索性問題分析

張應花

（貴州盤州市第一中學）

在數學的探索性問題的分析中，我們可以將數列中的數學疑問看成是數學的做題前提、依據、方法和結論這四個部分構成的一個體系，如果這四個部分中有兩個具有不確定性，則這類數學問題我們稱之為探索性問題。探索性問題可以分為如下幾種類型：條件探索性問題、結論探索性問題、存在探索性問題、規律探索性問題。

一、規律探索性問題

例如：數列{kn}中 k1=3，k2=6，已知 kn+2=kn+1-kn，那么求出k2009=？

從這個題中我們可以看出k3=k2-k1=3，k4=k3-k2=-3，k5=k4-k3=-6，k6=k5-k4=-3這時我們可以看到{kn}是一個有規律的數列分布，其循環周期為6，也就是說k2009=k5=k4-k3=-6

這道題從根本上來看，我們從分析的過程中找出了數列的周期性，從而將復雜的問題簡單化，但是這種問題的局限性在于其無法成為命題的證明。

二、條件探索性問題

這類問題的特點在于這種探索性問題的條件具有開放性，學生可以通過分析法根據結論與已知的條件來探索出前因來，但是這類問題需要解決的不是問題的充要條件，而是充分條件，學生只要具備良好的洞察力，問題都會解決掉。

已知正項數列{kn}的前 n 項和為 Sn，且 kn=S·nSn-1，（n≥2，Sn≠0），且已知 k=，求證為等差數列。1

證明：∵n≥2 時，kn=S·nSn-1

∴Sn-Sn-1=S·nSn-1

∴1/Sn-1/Sn-1=-1

∴1/Sn是公差為-1的等差數列。

從如上的問題的證明中，可以發現，對這種存在的條件探索性問題，其基本思路就是根據題中所給出的結果找出問題中存在的因，在做題的時候一定要先尋找使其結果成立的必要條件，然后再通過論證找到可以使結果成立的前因，即條件，在這一過程中，我們一定要考慮推理過程的可逆性，也就是在論證的過程中一定要說明你所持的條件為必要條件，確定條件是否多余要著眼于每個條件對所求或所證的對象的確定性，判定條件正誤多從構造反例入手。

再如下題：Sn是數列{kn}的前 n 項和（n∈N*），k1=k=3n2kn+Sn-1.kn≠0，n=2,3,4,…

找出一個數k（為奇數）使以18為首項，7為公比的等比數列{Z（}n∈N*）中的所有項都是數列{kn}中的項，并指出Zn是數列{kn}中的第幾項。

解析：由上面的證明中我們可以得出S1+S2=12，因此得出k2=12-2k，k3=3+2k.又因為數列{k2k},{k2k+1}都是以 k2，k3為首項，7 為公比的等比數列{Z（}n∈N*）中的所有項都是數列{kn}中的項，同時k為奇數，k2k+1為奇數，而Zn不是數列{k2n+1}中的項，那么就一定會是{k2n}的項。另外Z1=18，可以得出k=3，得出Zn是數列{kn}中的第6·7n-1+2k/3-2

點評：這里面給出的k的數值是不確定也不唯一的，但是從他給出的限定的范圍來看k為奇數，可以確定k是任何的一個奇數，這就可以將最后的數值范圍確定在{kn}中的第6·7n-1+2k/3-2。

三、存在性探索問題

這是一類在假定題中的數學對象存在或已經知道的結論是成立的前提下，認可其中一部分的結論然后在這一基礎上進行邏輯思維推理時導出矛盾，推翻前面的假設的過程，然后給出的是正確的結論，這種反證法在解題的過程的利用起到了非常重要的作用。

已知數列{an}中，a1=8，a4=2，且 an+2-an+1+an=0（n∈N*），求數列{an}的通項公式。

解析：這道題中an+2-an+1+an=0（n∈N*）中已經給出一部分數值，依據這部分題意可以求出an=10-2n。

點評：這種存在性探索的特點就在于問題與前提條件具有假定存在特點，根據這種假定存在性，可以尋找到存在的合理性，與數列最值有關的問題，都可以利用數列的單調性來完成解題的過程。

綜上所述，我們可以發現，這四種解數列的方式，是根據數列不同的存在方式來求解的，因此在確定何種解題方式的時候，需要先明確題間關系與題的條件。

［1］優春玲.淺談中學數列中的探索性問題［J］.甘肅聯合大學學報：自然科學版，2012（1）.

［2］楊美璋.利用零數列求解探索性問題［J］.數學教學研究，2003（7）.