簡單幾何體的外接球問題

霍金萍

（山西省臨汾市第一中學校）

近幾年高考，與球有關的切、接問題是常見題型。這類題主要考查學生的空間想象能力和準確、快捷的計算能力。本文主要探討幾何體的外接球問題。

長方體的體對角線的交點為其外接球的球心，體對角線長為外接球的直徑。根據長方體的這一特性，可以得到解決幾何體的外接球這類題的思路一。

思路一：幾何體是否可以補為長方體，若可以，則幾何體與此長方體是同一外接球，而長方體的體對角線長即為外接球的直徑（注：此處可補為長方體指的是此幾何體的頂點必須都是長方體的頂點）

例1.直三棱柱底面是等腰直角三角形，側棱和底面直角邊長均為2，其外接球的表面積是 （ ）

解析：可補為棱長為2的正方體，外接球的直徑即為正方體的體對角線長為2，表面積為12π.

對于簡單幾何體的外接球，考查比較多的是三棱錐的外接球，那么具有什么結構特征的三棱錐可以補為長方體呢？

從長方體的八個頂點中任取四個構成三棱錐，這樣的三棱錐有什么結構特征，反過來說，具有這種結構特征的三棱錐就可以補為長方體。為了能夠快速、全面地找見符合條件的三棱錐，可以按照一個表面上取的點的個數來分類：

1.當面ABCD內取三個點：比如A，B，D時，第四個點只能從面A1B1C1D1中來取。

①當取點A1時，三棱錐A-A1BD的四個面中的△A1AB，△A1AD，△BAD皆為直角三角形，直角頂點為同一個點。

結論1：有三個面為直角三角形，直角頂點為同一個的三棱錐，可補為長方體，設三條兩兩互相垂直的棱長分別為a，b，c時，

②當取點B1時，三棱錐B1-ABD的四個面皆為直角三角形，最長的棱為長方體的體對角線B1D。

結論2：四個面皆為直角三角形的三棱錐可補為長方體，最長的棱長為外接球的直徑。

③當取點C1時，三棱錐C1-ABD的四個面中，△DAB，△ABC1，△ADC1皆為直角三角形，直角頂點不為同一個，最長的棱AC1為長方體的體對角線。

結論3：三個面皆為直角三角形，直角頂點不為同一個的三棱錐可補為長方體，最長的棱長為其外接球的直徑。

④當取D1點時，與取點B1時的情況一樣，也是四個面是直角三角形的三棱錐。

2.當面ABCD內取兩個點，另一個面A1B1C1D1中取兩個點時，經過分析要使取得的三棱錐與前面取得的三棱錐特性不同時，只能取面對角線的端點，不妨取點A，C，B1，D1，得三棱錐B1-D1AC，此三棱錐對棱相等。

設 AC=x，B1C=y，AB1=z，AB=a，BC=b，BB1=c

則 a2+b2=x2① b2+c2=y2② a2+c2=z2③

①+②+③得 2（a2+b2+c2）=x2+y2+z2

結論4：對棱相等的三棱錐可補為長方體，設三對相等的棱

當在一個表面內取一個點，另一個表面內取三個點時與第一種情況相同，從而得出：從長方體的八個頂點中任取四個構成三棱錐，只會出現結論1—4中的四類三棱錐，反過來，具有這些結構特征的三棱錐都可以補為長方體。

例2.已知球 O 面上四點 A，B，C，D，DA⊥面 ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的半徑為 （ ）

解析：三棱錐的四個面皆為直角三角形，由結論2：最長的棱DC的長為外接球的直徑。DC=3，外接球半徑R=。

例3.已知四面體ABCD的四個頂點在同一球面上，AB=BC=CD=DA=4，AC=BD=2，則球的半徑為 （ ）

解析：是對棱相等的三棱錐，由結論4：球的半徑為。

思路二：若幾何體補不成長方體時，找球心的大致的位置，構造直角三角形，用勾股定理求解。先找到一個面上幾個點距離相等的點，過此點且垂直于面的直線上任意一點到這個面上的幾個點的距離相等，外接球的球心在此垂線上。

例4.設三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面，所有棱的長都是為a，頂點都在一個球面上，則該球的半徑為 （ ）

解析：是正三棱柱，補不成長方體。在面ABC中，到三點A，B，C距離相等的點是△ABC的中心G，則過點G垂直于面ABC的直線上任意一點到點A，B，C的距離相等。因為是正三棱柱，此直線過△A1B1C1的中心H。球心為HG的中點O。連接OC，GC在

綜上所述，解決簡單幾何體與球的內接問題的關鍵是：抓住接的特點，即球心到幾何體各頂點的距離等于球的半徑。具體先看幾何體是否可以補為長方體，若可以，則長方體的體對角線長即為外接球的直徑；若不可以，找球心的大致位置，構造直角三角形，利用勾股定理來求解。

孫漢中，張敏.球與兩種基本多面體的接、切及應用例讀［J］.數理化學習（高中版），2010（13）.