一句統領 整體建模
——在解決問題的復習課中應用數學建模策略的實踐與思考

浙江湖州市月河小學教育集團（313000） 施 娟

解決問題的復習課一直被視為復習課中較有難度的課型，因為解決問題情境很豐富。教師常常很苦惱：為什么換個情境，學生就不會做了？為什么同一種類型的兩道題目，學生只會做其中的一道題目？究其原因，是學生不能辨別題目類型，換句話說，就是沒有建立清晰的數學模型。本文以人教版教材六年級上冊“分數乘除法解決問題”的復習課為例，對解決問題的復習課中“數學建模”策略的應用進行探討。

一、一句引領，整體呈現

知識該如何重現在學生面前？知識點呈現是復習課的重要環節，我認為這個環節不僅僅要承載重現知識的功能，更應承載激活學生思維的功能。任何一類解決問題的過程都可以概括為：已知兩個量的關系（多、少、倍率）和一個量，求未知量的過程。分數應用題和其他類型應用題最大的不同在于描述兩個量的關系（描述兩個量的關系的句子，稱為“關鍵句”），根據關鍵句來分，分數應用題可以分成兩類：第一類，a是b的；第二類，a比b多（少）。因此，教師可用關鍵句作為教學的引領，以此促進學生積極思考。

師：關鍵句（1）中的單位“1”是什么？另一個量該怎么表示？

師：關鍵句（2）中的單位“1”是什么？另一個量又該怎么表示？

師：能用這兩個關鍵句分別編一道題目并解決嗎？

生1：桃樹有20棵，梨樹的棵數是桃樹的，梨樹有幾棵？

生2∶蘋果樹有20棵，杏樹比蘋果樹多，杏樹有幾棵？

……

關鍵句能起到牽一發動全身的作用。學生根據兩個關鍵句分別編寫了利用分數乘、除法解決的問題各一道，整體呈現了利用分數解決問題的基本類型。與教師直接呈現題目相比，“由關鍵句引領，補充填空”的方式充分調動了學生思維的積極性和主動性，學生從一開始就成為學習的主人。

二、分類對比，有效建模

學生在學習各個單元的知識時，只是對各單元的知識有了初步的領悟，對各知識點的內在聯系的認識還是膚淺的，達不到應有的深度，難以構建整體性的“認知框架”，以及形成綜合駕馭整體知識的能力。UbD理論認為，留于淺表的簡單覆蓋教材內容的復習不利于學生深刻理解知識，不被理解的知識就難以實現遷移、應用，只會造成“教一道會一道，沒教過就不會”的現象。因此，再現知識后，只有對單元知識之間的關系進行研究分析，將零散的知識以一定的線索進行組織加工，形成新的結構，或是將其進一步納入原有的知識體系中，才能幫助學生完善數學的認知結構，而分類對比是梳理知識結構行之有效的方法。

【教學片段2】師：下面是大家剛才編出的四道題，能按一定的標準把這四道題進行分類嗎？

板書：

桃樹：1 20棵 桃樹：1 ？棵

蘋果樹：1 20棵 蘋果樹：1 ？棵

師：明明關鍵句不一樣，為什么解決的方法一樣呢？

生2：其實關鍵句（2）“杏樹比蘋果樹多”，意思是“杏樹是蘋果樹的”，這樣改寫后跟關鍵句（1）的描述方法就一樣了。

師：也就是說，這兩個關鍵句都在描述“一個數是另一個數的幾分之幾”。因此，看似不同的兩類題目，其實為同一類，解決方法也相同，只是穿了不同的“外衣”。

師：這四道題有什么相同的地方嗎？

生3：都是已知兩個量的分率關系和其中一個量，求另一個量。

師：對，兩個量的關系已知，其中一個量已知，就可以求出另一個量。像這樣的題目你還能編幾道嗎？

問：警察也是按常規行事，有權決定將他們移送到遠離事發地的地方，旁邊還有地鐵站，這沒有什么特別的，是常有的情況。

（在學生編題后，教師可追問：“你編的這個問題能解決嗎？怎么解決呢？”）

師：除了添加一個量的條件，還可以是怎么樣的條件？

生4：桃樹和梨樹共24棵，梨樹的棵數是桃樹的，桃樹、梨樹各幾棵？

生5：可以把“桃樹+梨樹”看成第三種樹，第三種樹是桃樹的，而第三種樹的棵數是已知的，就可以求出單位“1”的量（桃樹的棵數）。如果已知桃樹和梨樹的差，也可以求出桃樹的棵數，方法類似。

師：誰來試著編一題？

生6：桃樹比梨樹多8棵，梨樹的棵數是桃樹的，桃樹、梨樹各幾棵？把“桃樹-梨樹”看成第三種樹，第三種樹是桃樹的，有 8棵，也能求出單位“1”的量（桃樹的棵數）。

為了讓學生發現知識之間的聯系，要盡量剔除不必要的細枝末節，便于學生觀察和發現。為此，我采用了如下板書形式：

桃樹：1 20棵 蘋果樹：1 20棵

桃樹：1 ？棵 蘋果樹：1 ？棵

學生很快就發現“每一行的結構完全一樣，解題方法也一樣”，從而成功建立了分數乘法、除法應用題的“類”模型。學生在進一步的比較中還能夠發現分數應用題的共同特點“已知兩個量的分率關系和一個量，就可以求出另一個量”，得出了分數應用題的模型。第二次的編題讓學生鞏固了解決分數應用題的基本模型及相應的解決方法，第三次的編題能幫助學生根據分數應用題的模型豐富外延，內化模型。通過這個完整的建模過程，學生建立起了分數應用題最基本模型：已知兩個量的關系和其中一個量，就可以求出另一個量。

三、縱深溝通，促進理解

將新的知識納入已有的知識系統，有利于學生完善數學認知結構，對知識進行化歸，從而促進知識的理解。分數乘除法應用題是整數乘除法應用題的延伸，如果能將其和整數乘除法應用題進行聯系，就能產生事半功倍的教學效果。

【教學片段3】師：已知兩個量的關系和其中一個量，求另一個量。以前我們學過類似的問題嗎？請舉個例子。

生1：小明有5本故事書，小紅的本數是小明的2倍，小紅有幾本故事書？（用乘法計算）

板書：小明：1 5本 小紅：2 ？本

生2：小東有8本科幻書，小東的本數是小丁的2倍，小丁有幾本科幻書？（求單位“1”用除法計算）

板書：小丁：1 ？本 小東：2 8本

師：以前我們說的一倍數就是現在的單位“1”的量。這些整數應用題和分數應用題又有什么不同呢？

生3：前一類的兩個量的關系用整數（倍數）來表示，后一類的兩個量的關系用分數（分率）表示，其實解決方法都一樣。

整數乘除法解決問題和分數乘除法解決問題都是同一種類型的問題，但是相比較而言，學生更容易理解整數乘除法解決問題。通過板書分析整數乘除法問題的結構，能夠從“形”上溝通聯系整數乘除法解決問題和分數乘除法解決問題之間的關系，引導學生關注兩者的本質聯系：以前我們說的一倍數就是現在的單位“1”的量。

數學模型關注的對象是許多具有普遍性的事物，而這樣的事物具有一些共同的特點。數學建模應該是一個不斷感知、積累、分析和判斷的過程。教師要有數學建模的意識，要在學生已經擁有的豐富的感性材料的基礎上引導學生緊緊抓住知識的關鍵特征，溝通聯系，從而完善、更新數學認知體系。