籃球比賽中運用犯規戰術轉敗為勝的博弈分析

（北京市第十三中學 北京 100009）

籃球比賽是以得分多少判定勝負的一項集體性、對抗性體育項目。其特點表現為快速、兇悍、搶奪的競技，在當今籃球運動中，比賽競爭日益激烈，雙方較量的不僅僅是各自的技術、能力，更是戰術、策略的斗智斗勇，恰如一個博弈。博弈是對立雙方根據自己和已獲知的對手的狀態及相關，信息運用各種方法和策略，采取行動以獲取最大得益為目的的一系列策略實施的過程。博弈包括3個因素：第一，博弈的參與者即博弈方；第二，各博弈方選擇的行為和策略；第三，博弈方在博弈的各種局勢下所獲的得益。首先，一場籃球比賽，有兩支球隊參與，滿足了博弈第一因素；其次在比賽中雙方根據對手以及本方隊員的特點制定相應的戰術策略，符合博弈第二因素，第三籃球比賽過程中攻守轉換，對方進攻本方防守，對方進攻成功意味著本方此回合的防守失敗與博弈的第三因素相符合，可見籃球比賽是一種動態博弈。[1]

在籃球比賽中，允許的合理適度的身體接觸，使得隊員的犯規在所難免。雖然籃球比賽同任何其它的體育競賽一樣，按照規則，提倡公平競爭的精神，并對一切形式的違例行為施以適當的刑罰。然而，成功的犯規對比賽的結果有潛在的甚至無法估量的影響。因此，應將犯規視為一種策略，加以研究和應用。本文將對比賽臨近結束時，在比分相近情況下比分落后一方所應采用的借以轉敗為勝的犯規戰術，運用博弈論的思想方法進行分析探討。[2]

一、犯規及犯規戰術

1.概念

所謂犯規就是違反比賽規則，包括與對方隊員進行非法身體接觸，違反運動道德和行為。犯規戰術是指在籃球比賽中審時度勢，籃球規則的遵守和使用，以及根據比賽的實際需要所使用的球隊或個人的有預謀的、有組織的、合理的和有效的主動犯規。目的是破壞對手的比賽節奏，干擾或壓制其戰術的發揮，提高球隊的制勝犯規動作。

2.犯規戰術的類型

犯規戰術可以可以按攻守對立的性質分為進攻造犯規戰術和防守犯規戰術。

攻擊“犯規戰術”：指進攻時故意造成對手，不僅增加了球隊得分的機會，也增加了對方球隊或球隊的犯規次數，從而降低了他們個人和球隊的防守能力.防守犯規戰術是指故意或早期犯規，以贏得比賽時間或在場上獲得主動權。

當本隊（設為A隊）在前場控球的情況下，可以有2種選擇：采用造犯規戰術和不采用造犯規戰術。相應的其對手（設為B隊）也有兩個戰術，采用防守犯規戰術和不采用防守犯規戰術。如此構成了這一動態博弈的四個戰略組合：

（采用造犯規戰術，采用防守犯規戰術）；

（采用造犯規戰術，不采用防守犯規戰術）；

（不采用造犯規戰術，采用防守犯規戰術）；

（不采用造犯規戰術，不采用防守犯規戰術）；

如圖1所示，如果A隊采用造犯規戰術，B采用防守犯規戰術，A有兩種可能情況，一種是進攻時投球未進，如果是3分投籃，將被罰球3次，得益為3分；如果是2分投籃，將被罰球2次，得益為2分；另一種情況是A隊進攻時投球入網，無論是3分投籃還是2分投籃，都將只被追罰一次，得益為4分或3分，總之，可能的分數是2～4分，而B隊的得益為一次犯規（犯規行為雖然不被扣分，但被犯規會起到破壞本隊的作戰意圖，給隊員造成心理壓力的作用），記為-1分；如果A隊采用造犯規戰術，B未采用防守犯規戰術，若A隊進球，A的得益為2或3分，未進球，A的得益為0分，相應的B的得益為0分。

如果A隊未采用造犯規戰術，B采用防守犯規戰術，A隊的得益為2～4分，無論A隊是否進球，B隊的得益都是-1分。若B不采用防守犯規戰術，A隊的得益為0～3分，B隊的得益都為0分。

由圖1，我們可以看出B隊的占優戰略是不犯規，而A隊的占優戰略是“造犯規”。所以這個動態博弈的子博弈納什均衡是：（采用造犯規戰術，不采用防守犯規戰術），博弈的結果是A的得益為0～3分，B的得益為0分。[3]

當然，模型中假定B只要不采用防守犯規戰略它就不會犯規，這就意味著A所采用的進攻時的造犯規戰略沒有獲得成功。市級比賽中，即使B不采用防守犯規戰略，它也有可能犯規，這就意味著A所采用的進攻時的造犯規戰略獲得成功，這種情況與戰略組合1相同。對A而言，運用進攻造犯規戰術，無論成功與否，對手都有風險存在，勢必給對手壓力，影響其技戰術的發揮。最好的結果是造對手犯規并追加罰球，不僅使本隊的得益最大，也讓對手產生負的得益。對B而言，防守上最好的策略選擇應該是積極防守對手的射門，盡量不使用防守犯規戰術，因為使用防守犯規戰術的風險將大于非犯規戰術。然而，在實際的籃球比賽中，當比賽時間即將結束，球隊的得分不遠的時候，為了贏得比賽，應該使用防守犯規。因為此時球隊最大的風險就是輸掉比賽。如果選擇一個罰球命中率低的球員，再加上比賽關鍵時刻的觀眾和心理影響，犯規的風險可以降到最低。換句話說，對手的罰球不在。即使是對方的罰球，球隊仍然有時間，有機會打出3分戰術或是進攻犯規戰術，并抓住機會將敗局轉化為勝利。

二、運用犯規戰術轉敗為勝的博弈分析

在籃球比賽中，勝負往往取決于幾分鐘內的攻防戰術。在比賽結束前幾分鐘是一個球隊最重要的勝利。在這幾分鐘，犯規戰術是縮小得分差距甚至超越得分的最佳選擇。此時的犯規戰術主要是球員在對方球員身上有意識地以較低的罰球命中率犯規，迫使他投出罰球，從而減少了對方持球所浪費的寶貴進攻時間。[4]

1.基本假設

① 在一場比賽中，有A，B兩個隊。

② A，B兩個隊比分為100:98。

③ 比賽臨近結束還有還剩下24秒。

④ 為了便于分析研究，假設發生的所有罰球都命中得分。

⑤ 假定防守方只有通過犯規，在對手罰球的情況下才能獲得球權。

2.博弈分析

假設A隊控制球，A的策略是拖延和進攻。而B的策略是犯規和不犯規（如圖2所示）。

如果A在第一個階段選擇了拖延時間，B在第二個階段的選擇是不犯規，意味著A以比分100:98勝利結束比賽，A的得益為0，B的得益也為0。

若B在第二個階段的選擇是犯規，有下面幾種情況：

情況1，在對方運球中犯規并且單節犯規超過5次，A隊罰球，按照假設，兩發全中，A又得2分（比分為102:98）；

情況2，在對方投籃時犯規，A隊罰球，A的最佳得益3分（比分為103:98）；但球權歸B，B隊還有進攻時間。此時，B選擇“造犯規戰術”，B的最佳得益為4分，此時，雙方比分為102:102或103:102。

如果A在第一個階段選擇了進攻，B在第二個階段的選擇是不犯規，根據假定⑤，不采用犯規戰略，B就不可能得到球權，有可能導致比分拉大（比如A隊又得U分）。所以對B最好的結果就是雙方的得益皆為0，比賽以100:98或100+U:98的比分結束，A贏得比賽。若B在第二個階段的選擇是犯規，分析過程同上。

如圖2所示，如果B隊不犯規，B就會輸掉比賽。如果B隊犯規，B隊還有進攻時間。在上述情況1和情況2之下，A的最佳策略則是防守犯規，上述比分情況只是B由于犯規而得到一次球權所能得到的最佳結果。如果比賽尚未結束，上述的博弈過程會重復進行，B還有追趕比分的機會。

A隊在防守時應盡量避免使用犯規戰術，并應盡力保持領先。攻擊時采用控球戰術。在24秒內，進攻時間盡量延遲。應防止對手使用犯規戰術，并將球交給投票給籃筐的球員，使他可以利用自由籃筐得分，進一步擴大領先。加強防守時的干擾，嘗試減緩對手從后場到前場的進攻速度，積極防守，迫使對手減少投籃次數或急沖射擊，從而降低投籃命中率。此時球隊必須在匆忙中避免失誤和犯規戰術，以避免為對方節省時間，并提供縮小比分差距的機會。當b隊進攻時，試圖用籃下進攻，導致對方犯規。罰籃得分可以用來在有限的時間內最小化甚至超過分數，為了在防守中獲得時間，球隊內犯規較少的球員應安排積極尋找罰球命中率較低的球員在對手將球丟出球場外后立即犯規，并爭取更多的攻擊以節省比賽時間。使局勢轉敗為勝。這個游戲本質上是一個完整的信息動態博弈。

這里對A、B都采用了可能獲得的最佳的得益，然而實際比賽中，籃球運動的罰球或進攻都具有不確定性，可以應用數學期望值進行決策。當B犯規后， A的期望得益為罰球得分，在0和2之間；B在得到球權后的得分在0到4之間，那么只要E（B）≥E（A）（E（A）和E（B）分別表示A和B的期望得分），對于B來說犯規的期望得益就大于或等于不犯規的期望得益。因此，B的最優策略是犯規獲得一次進攻機會；A的策略是拖延時間，一直到比賽結束，獲得勝利。可見，A若不犯規，就將輸掉比賽，若采用犯規戰術，就有可能拉近比分，甚至轉敗為勝。

3.經典案例

2004年12月9日（北京時間2004年12月10日），休斯頓火箭主場對戰圣安東尼奧馬刺。

在距比賽結束還有1分02秒時，火箭隊落后10分。休斯頓火箭隊的麥迪突破后拋投籃不中，但姚明在第一時間直接將球補扣入網。之后馬刺發底線球，被斯科特·帕吉特斷球，后者直接扣籃得分，在幾秒中內直追4分。此時時間已經不多了，火箭隊被迫采取犯規戰術，對方的德文·布朗2罰全中，差距又拉到8分。時間還剩44.2秒時，麥迪先是運球到前場直接出手投中3分。然后采用犯規戰術，對方2罰又是全中。但麥迪又投中了不可思議的一球，他和姚明做了一個掩護后，引誘鄧肯對他犯規，并且在下落過程中投中3分，并加罰一球，打4分成功。緊跟著又是犯規戰術，對方蒂姆·鄧肯2罰全中，時間只剩16秒，麥迪接住了界外發球，然后在布魯西·鮑文面前又打了三分。此時，馬刺呼吁最后一次暫停，然后準備發前場比賽，時間暫停，姚明的后防發球，球傳到布朗手中，他沖進火箭隊的內線，但是他摔倒了，麥迪迅速把球撿起來放在地上，直接跑到了前場。他在左三線附近又射了三分，擊中。此時的比賽時間只有1.7秒。帕克錯過了從后場運球到前場的三分球。在比賽結束時，火箭以81:80擊敗馬刺。

結語

總結起來，我們可以得到以下的啟示：在籃球比賽的關鍵時刻，使用犯規戰術是取得最后勝利的有效方法和必要手段之一。在使用犯規戰術時，要求全體隊員在思想上高度一致，目標明確，行動堅決、迅速、果斷，合理有效地運用犯規戰術贏得比賽。

以上分析是基于一個簡單而理想化的假設。基于對合理的籃球運動員在一定的約束下的分析，它有一定的局限性，但從另一個角度它指出犯規戰術對于比賽的勝利是不可低估的。現代籃球和運動犯規戰術已經被用來作為贏得比賽不可或缺的工具，尤其是在比賽的關鍵時刻。因此，犯規戰術應作為正常教學和訓練的一部分，并在實際比賽中根據球隊的特點和場上形式的變化，合理有效地運用犯規戰術贏得比賽。