淺談高中數(shù)學(xué)分類討論思想的應(yīng)用

袁禾英

摘要：高中數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法就是分類討論思想，其貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)程中，并且是考試大綱中指明一定要考查的數(shù)學(xué)思想方法之一，也是高考數(shù)學(xué)考試中的難點(diǎn)與熱點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生大多不知道應(yīng)當(dāng)在哪種情況下運(yùn)用何種方法，如何運(yùn)用這種方法，最后又如何綜合這些分類討論結(jié)果。在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師需要注重采用全新的課堂教學(xué)思想，分類討論思想是一種運(yùn)用比較普遍、行之有效的解題方法，其能夠幫助學(xué)生解決考試中的難點(diǎn)問(wèn)題，分類討論的解題方法要求把問(wèn)題劃分為不同部分，通過(guò)綜合研究各個(gè)部分，然后在解決各個(gè)部分的問(wèn)題基礎(chǔ)上，解決整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。本文針對(duì)分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開(kāi)了深入研究，并提出了相關(guān)策略。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;高中數(shù)學(xué);教學(xué);解題數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1992-7711（2018）12-0015

在新實(shí)行的新課標(biāo)下，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出高中生要能在觀察、比較、綜合、概括、分析和抽象的基礎(chǔ)上，清楚地知道自己的思想和觀點(diǎn)，從而有效提高學(xué)生的高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)。分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著比較重要的位置，且具有較為明顯的邏輯性、探索性和綜合性，其注重學(xué)生思維的縝密、嚴(yán)謹(jǐn)和條理，旨在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候能夠化繁就簡(jiǎn)、分類處理，這能有效提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一、 分類討論思想的簡(jiǎn)介

分類討論思想是指依據(jù)高中數(shù)學(xué)本質(zhì)的相同性和差異性，把數(shù)學(xué)的研究對(duì)象化分為各種不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。分類討論思想以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，而分類是比較的結(jié)果，不同的分類需要采用不同的標(biāo)準(zhǔn)，而不同的標(biāo)準(zhǔn)處理會(huì)獲得不同的結(jié)果。學(xué)生在解題過(guò)程中要加強(qiáng)縝密性訓(xùn)練，做到分類不遺漏和不重復(fù)。正確分類后，分別對(duì)每個(gè)類別內(nèi)容進(jìn)行研究，使得不同情況下的問(wèn)題得到正確解答。而討論就是要在各種不同情況下討論出不同的解答方式和結(jié)果。學(xué)生要有比較好的能力才能正確運(yùn)用分類討論思想，教師應(yīng)當(dāng)在課堂上有意識(shí)地幫助學(xué)生深化這一方法，并要求學(xué)生在平時(shí)的做題中要有意識(shí)地運(yùn)用這一解題方法解題，逐漸讓學(xué)生掌握這一方法的具體應(yīng)用，并有效幫助學(xué)生克服盲目性和隨意性，從而提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力。

二、在高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容教學(xué)中不斷滲透分類討論思想

在傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式中，主要以教師為中心來(lái)開(kāi)展“填鴨式”“灌輸式”的課程教學(xué)活動(dòng)，教師在講解書(shū)本教材內(nèi)容時(shí)需要占用大量時(shí)間，這也就導(dǎo)致其他教學(xué)方式的應(yīng)用無(wú)法獲得充足的時(shí)間。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想，必須保持循序漸進(jìn)的過(guò)程，逐漸引入分類討論思想，逐漸給學(xué)生灌輸分類討論思想，才能對(duì)學(xué)生的行為產(chǎn)生影響，使學(xué)生逐漸掌握分類討論思想，并學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。如在探索“直線和圓的位置關(guān)系”的問(wèn)題時(shí)，教師可以提出問(wèn)題：“哪位學(xué)生能夠說(shuō)出圓和直線的幾種位置關(guān)系呢？”在問(wèn)題提出之后，部分學(xué)生會(huì)回答道：“圓和直線有相交、相切和相離等等三種不同的關(guān)系?！痹谶M(jìn)入這一步之后，教師繼續(xù)提出問(wèn)題：“如何判別圓和直線的三種關(guān)系呢？”學(xué)生將會(huì)回答道：“通過(guò)應(yīng)用直線方程ax+bx+c=0以及圓型方程x2+y2+dx+f=0來(lái)進(jìn)行聯(lián)合求解。”在求解的過(guò)程中，根據(jù)所得的結(jié)果能夠準(zhǔn)確得出結(jié)論，如果出現(xiàn)兩個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)解，兩者屬于相交的關(guān)系，如果得出一樣的實(shí)數(shù)解，兩者屬于相切的關(guān)系，如果無(wú)法得出實(shí)數(shù)解，則屬于相離的關(guān)系。除此之外，學(xué)生在回答這一問(wèn)題時(shí)，也可以通過(guò)直線距離d和圓的半徑r兩者間的關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確判斷，發(fā)現(xiàn)d大于r，那么屬于相交的關(guān)系，如果d小于r，那么屬于相離的關(guān)系，如果d等于r，那么屬于相切的關(guān)系。因此，教師需要對(duì)兩種方法進(jìn)行分類總結(jié)，分別引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)不同的類別來(lái)進(jìn)行討論，才能得出更加準(zhǔn)確的結(jié)果，也能給學(xué)生建立分類討論思想意識(shí)。

三、科學(xué)分類，選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想，科學(xué)分類至關(guān)重要。例如：在集合A劃分為多個(gè)非空真子集之后，Ai（i=1、2、3...n）（n≥2，n∈N+），那么在集合A里面的各個(gè)元素都應(yīng)該屬于同一個(gè)子集，也就是處于這樣兩種關(guān)系：第一，A1∪A2∪A3∪...∪An=A;第二，Ai∩Aj=φ（i，j∈N+，且i≠j）;那么從中我們可以發(fā)現(xiàn)，其把集合A分別進(jìn)行了分類，在科學(xué)分類的過(guò)程中，必須保證不能出現(xiàn)遺漏的問(wèn)題，而且在分類時(shí)不能出現(xiàn)重復(fù)的問(wèn)題，也就是達(dá)到不重不漏的目的。在采用分類討論思想時(shí)，需要深入理解題目含義，結(jié)合題目給出的條件，合理分類。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如果確定完成分類討論的內(nèi)容，那么需要選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，才能達(dá)到良好的分類討論效果。

四、重視分類討論思想的集中類型教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對(duì)許多特定題型，需要集中運(yùn)用分類討論思想，才能達(dá)到良好的解題效果。教師在分類討論思想教學(xué)之前，必須學(xué)會(huì)總結(jié)與劃分題目類型，根據(jù)知識(shí)類型給學(xué)生講解分類討論思想的運(yùn)用方式，才能讓學(xué)生熟練掌握解題方法。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想主要集中在這樣幾大題型：第一，函數(shù)計(jì)算類題目;第二，概率、數(shù)列類題目;第三，三角形邊、線以及圓的位置相關(guān)的題目，在解答這些數(shù)學(xué)題目時(shí)，需要充分運(yùn)用分類討論思想，才能準(zhǔn)確解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題過(guò)程中，需要注意避免產(chǎn)生“漏解”的問(wèn)題。

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要逐漸滲透分類討論思想，科學(xué)分類、選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，重視集中類型教學(xué)，建立完善的分類答題體系，這樣才能提高解題正確率，教師也要進(jìn)行合理引導(dǎo)，逐步讓學(xué)生掌握分類解題方法，有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解題能力，提高高中數(shù)學(xué)考試成績(jī)。

（作者單位：江西省宜春市宜春中學(xué) 336000）