“同構”的對稱思維是數學解題中的最關鍵最必要的共同素養

寧夏固原市第一中學 林海平

在中學數學教學以及解題過程中“，同構”的對稱思維模式往往自然地使師生產生“共鳴”，潛移默化地溝通了師生學習模式，并且使得知識內容讓學生更加容易接受，甚至使得學生能夠自主理解推導。尤其在恒等式變形過程中，左右結構對稱的“同構”指導原則，可促進學生實施對稱變形、單方變換、對應跟進、快捷轉換實現數學迅速簡化、準確到位的理想狀態。

一、單方變換

1的代換，等常數代換，往往是跟隨已知式選擇同構式的構造。比如，logax-1=0可以同構 logax-logaa=0=loga1，所以

二、對稱變形

例1 在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，則此三角形是( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.直角或等腰三角形

分析：在△ABC中，將已知的等積式a2tanB=b2tanA變形為比例式，對稱化歸為左 a，A右 b，B的形式，即由正弦定理及切化弦，得所以，故選D.

三、對應跟進

分析：觀察已知式左、右兩邊結構特點，其右邊可分離常數1，如此左右同構配湊，左邊亦可分離出常數1，可使得左右結構對稱，迅速簡化，由正弦定理及切化弦，再由通分、和角公式等變形得有關角 的等量關系。

教學案例 圓錐曲線的參數方程的“同構”教學輔助

分析：利用cos2α+sin2α＝1與橢圓方程“同構”的結構特點，對應變形橢圓方程為，選擇 φ作為參數，令=sinφ，得橢圓的 參 數 方 程 為（φ為參數）。即橢圓（a＞b＞0）上任意一點 M（x，y）的坐標又可以假設為 M（acosφ，bsinφ），φ∈[0，2π）。

對于拋物線 y2=2px，（p＞0） 上任意一點M的參數坐標可以通過左右同構自然推導。觀察y2=2px，左邊為一個完全平方數，可令x=2pt2使右邊也配湊為完全平方數（2p）t，2即引入參數t，又關注x，y的取值

四、快捷轉換

點i在哪兒？學生經常在一些細節處犯糊涂。本質核心在于任意復數都可以統一為同樣的代數表達結構：z=x+yi（x∈R，y∈R）。又一一對應點Z（x，y），所以由z=i=0+1i知點 i的坐標為（0，1），即點 i在虛軸上。

數學本質是數學建模、滲透的數學思想，主要是轉化、化歸思想。“同構”的對稱思維模式教給學生學習數學的看法、方法和辦法以及探究的手段。利用同構，凸顯問題背后的基礎知識的本質，就能觸類旁通地以一當十，自然提升學習者的解題效率。

“同構”是所有學生都應具備的學習數學的共同素養，是最關鍵、最必要的共同素養。