中學數(shù)學定理、公理運用的實踐與研討

江蘇省徐州市賈汪區(qū)建平中學 王 艷

“對頂角相等”“凡直角都相等”“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”等都是數(shù)學定理。數(shù)學定理反映了條件和結(jié)論之間的一種必然聯(lián)系，它是從生活發(fā)展起來的。《周髀算經(jīng)》里就有“勾三、股四、弦五”說法（即 c2=a2+b2），這就是勾股定理，它是特殊性的判斷。后來隨著生產(chǎn)的進一步發(fā)展，人們又從實踐中概括出三角形三邊余弦定理，即c2=a2+b2-2abcosC。這是一般三角形三邊的基本關(guān)系式，是勾股定理的推廣，它是普遍性的判斷。從這里可以看出，數(shù)學定理來源于實踐，而且一般都經(jīng)過辯證發(fā)展的過程。

數(shù)學中一些定論是經(jīng)過人們億萬次實踐直接證實的，這樣的命題叫做公理。如“整體大于部分”“若兩個量分別等于第三個量，則它們也相等”等都是數(shù)學公理。

公理最早出現(xiàn)在歐幾里德幾何中。當時，隨著生產(chǎn)實踐的發(fā)展，人們關(guān)于空間形式的知識越來越豐富，從理論上加以概括和總結(jié)顯得十分必要。歐幾里德綜合了人們認識的成果，寫出了《幾何原本》一書。這本書從點、線、面等最基本的概念和最簡單的關(guān)系出發(fā)，從外部世界引進了這些概念和關(guān)系的某些性質(zhì)作為公理。從公理出發(fā)，借助于幾何圖形的直觀，應用形式邏輯的演繹推理，把形的其他性質(zhì)推導出來。這些幾何公理，在理論形式上，是邏輯推理的大前提。

在數(shù)學中，從邏輯推理的角度看，實際上公理不是沒有證明過的，更不是不能證明的。公理是人們長期以來從生產(chǎn)實踐中總結(jié)出來的結(jié)論。因此，它們是可以辯證地證明的，是經(jīng)過長期實踐的反復證明才取得公理資格。所以，只看到公理在數(shù)學上無法證明的一面是片面的，還必須看到公理可以辯證地（即實踐地）證明的一面；只看到公理形成后演繹的一面也是片面的，還必須看到在實踐中歸納的一面。

從數(shù)學發(fā)展歷史來看，最初由歐幾里德給出的初等幾何公理系統(tǒng)，由于認識水平的局限。當時他還沒有可能深入地從一般意義上去研究公理系統(tǒng)的構(gòu)造，研究公理化方法的理論，因而給出的公理系統(tǒng)還存在著不少缺點。例如，在歐氏幾何的公理系統(tǒng)中，有些定義和公理是不必要的，有些定理的證明是不嚴格的。從這個意義上來說，歐幾里德幾何只能說是公理化的一個雛形，其中體現(xiàn)的公理化思想還是樸素的、原始的。

到了十九世紀末，希爾伯特克服了歐氏幾何公理系統(tǒng)中的缺點，形成了加工、整理數(shù)學經(jīng)驗資料的公理化方法。希爾伯特把公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基本特性概括為五個方面，我們不難看到，公理和由它發(fā)展而來的現(xiàn)代公理化方法，是數(shù)學發(fā)展一定階段的產(chǎn)物，是一種有效的科學方法。現(xiàn)代數(shù)學的各個分支，一般都用公理化方法建立自己的嚴謹體系。例如，概率論開始形成時，實踐性很強，后來也公理化了，這是認識過程中一個進步。上世紀四十年代，德國布爾巴基學派在整個數(shù)學中找出幾種基本結(jié)構(gòu)——序、代數(shù)、拓樸等，并在這些基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，把全部純數(shù)學加以整理，建立各種各樣的公理化體系，這個工作對于促進數(shù)學的發(fā)展有著一定的積極意義。

我們把“特殊化”作為實現(xiàn)化歸的途徑之一。因為相對于一般來說，特殊的事物往往包含人們較為熟悉的信息，這些信息的引入所產(chǎn)生的條件強化，顯然滿足熟悉化、簡單化的策略選擇原則；但有時人們對一般的事物比較熟悉，而對特殊的事物反而比較生疏，所以，我們把“一般化”也作為實現(xiàn)化歸的途徑，例如，把方程不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點與符號區(qū)間，母函數(shù)法以及在解析幾何中把特定的曲線方程轉(zhuǎn)化為考慮某個曲線系方程等，都是一般化歸策略的表現(xiàn)。

我們研討定理、公理的來龍去脈，目的是為了更好地運用，如可以優(yōu)化結(jié)論的推導過程，培養(yǎng)分析綜合能力。

例題：推導“等比數(shù)列的前n項和公式”。推導的方法很多，方法一、二略。

方法三：運用定義，結(jié)合等比定理設計如下推導方法：

方法四：整體代換法：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)－a1qn=a1+qSn－a1qn，當 q=1 時，Sn=na1，

運用定理、公理，可以優(yōu)化思想方法的滲透過程，培養(yǎng)學生理解應用能力。

如求值sin2200+cos2800+·sin20·0cos800（如圖）。分析觀察所求代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點聯(lián)想余弦定理表達式。BC=ksin1500=sin1500，取得 k=1，AC=ksin200=sin200，AB=ksin100=sin100，根據(jù)余弦定理 ：原式 =sin2200+sin2100-2cos1500·sin20·0sin100=sin21500=3/4

這題解法，不僅簡捷、巧妙，還滲透了數(shù)形結(jié)合方法。

當然，我們不能把公理化方法絕對化。必須辯證地看到，公理的作用是有其局限性的。前蘇聯(lián)旺塞寧·沃爾平強調(diào)指出要把公理方法立刻推廣到所有的數(shù)學領(lǐng)域中去，但有的數(shù)學家則認為，就總體來說數(shù)學不能全部都公理化，我們只能談論有關(guān)一些個別數(shù)學理論的公理體系，不能把大量的問題都歸于某種法則之中，有的要用特殊的方法加以解決。正如前蘇聯(lián)科爾奠戈羅夫所說，能夠找出不同于一般法則的解題程序是數(shù)學思維的基本特點之一。