對稱性在數學教學中的應用

寧夏中衛市第一中學 李 偉

在數學教學中利用數學問題的對稱性不僅有助于找到簡潔優美的解法，也有利于學生思維水平的提高。更重要的是可以在學習數學的同時欣賞數學美，正如古代哲學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數學，哪里就有美。”而對稱美是數學美的基本內容和重要體現，因此在數學教學中，教師要有意識地揭示數學中的對稱美，培養學生的美感，利用對稱性提高學生解決問題的能力。

本文以例題為主，主要論述對稱性在函數，幾何等方面的應用，讓學生充分認識對稱性的作用，認識對稱美。運用對稱性可以鍛煉學生的思維，拓展學生的視野，豐富學生的想象，提高學習效果。

一、對稱的概念

“對稱”一詞，譯自希臘語，其含義是“和諧”“美觀”，原義指“在一些物品的布置時出現的般配與和諧”。我國老一輩數學家段學復教授也說過：“對稱，照字面來講，就是兩個東西相對而又相稱(或者說相仿、相等)。因此，把這兩個東西互換一下，好像沒動一樣。”在現實世界中，形式上和內容上的對稱性，廣泛地存在于客觀事物之中，既有軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等等的空間對稱，又有周期、節奏和旋律的時間對稱。對稱美，作為數學美的主要表現形式之一，其數學的實質就是自然物的和諧性在量和量的關系上最直觀的表現，是組元的一個構形在其自同構變換群作用下具有的不變性。從狹義上說，對稱是指通常意義下的幾何對稱和代數對稱；從廣義上講，對稱還包含對偶、勻稱等方面的內容，及各種數學概念、公式、定理間的對稱思想。

二、函數中的對稱性問題

1.函數自身的對稱性。

（1）利用奇偶函數的對稱性解題。

眾所周知，奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱，只要掌握這些知識的內涵，就能得到處理這些問題的思路把看似復雜的問題簡單化。

例1設（fx）是R上的奇函數，且（fx+3）=-（fx），當0≤時 （fx）=x，求（f2008）。

解：因為y=（fx）是定義在R上的奇函數，所以點（0，0）是其對稱中心，又（fx+3）=-（fx）=（f-x）=（f0-x），所以直線是y=（fx）的對稱軸，故y=（fx）是周期為6的周期函數，所以 （f2008）=（f6×335-2）=f（-2）=-（f3-1）=（f-1）=-（f1）=-1。

此題的關鍵是利用奇函數的重要性質（f-x）=-（fx）以及關于原點（0，0）對稱，及函數（fx）的對稱軸

（2）利用點的對稱性解題。

例2（fx）是定義在R上的增函數，記F（x）=（fx）-（fk-x），求證：y=F（x）的圖像關于點（a，0）對稱的充要條件是k=2a。

證明充分性，只須證 F（2a-x）=-F（x），因為k=2a，所以F（2a-x）=（f2a-x）-（fx）=-[f（x）-f（2a-x）]=-F（x），所 以 y=F（x）關于點（a，0）對稱。

必要性，因為 y=F（x）關于點（a，0）對稱，所以 F（2a-x）=-F（x），即 f（2a-x）-f（k-2a+x）=（fk-x）-f（x），下面對k進行討論。

① 當 k＞2a 時 f（2a-x）-f（k-2a+x）＜（fk-x）-（fx）。

②當k＜2a時 （f2a-x）-（fk-2a+x）＞（fk-x）-（fx）。

③當k=2a時等式成立。

（3）不同函數及圖像之間的對稱性。

例3設定義域為R的函數y=（fx）與 y=g（x）都有反函數并且 f（x-1）和g-（1x-2）函數的圖像關于直線y=x對稱，若g（5）=2007，求 （f4）。

解：因為函數y=（fx-1）和y=g-（1x-2）的圖像關于直線y=x對稱，所以y=g-1（x-2）的反函數是 y=f（x-1），而 y=g-1（x-2）的反函數是y=2+g（x），所以 （fx-1）=2+g（x），所以 （f5-1）=2+g（5）=2009，即（f4）=2009。

三、輪換對稱式的應用

所謂輪換對稱式即為：對于一個n元多項式 p（x1，x2…，xn）把它的 n 個變元順次進行調換。如果這樣得到的結果仍與原式相同，即 p（x1，x2…，xn）=p（x2，x3…xn，x1）那么這個多項式叫做關于這些變元的輪換對稱式，簡稱輪換對稱式，利用輪換對稱式可使解題簡潔優美。舉例如下：

例 4 已知 α，β，γ，θ均為銳角，且α+β+γ+θ=π，求函數 y=sinαsinβsinγsinθ的最大值。

解：y=sinαsinβsinγsinθ

當且僅當 sinα=sinβ=sinγ=sinθ，

不論在自然界里還是建筑中，不論在藝術還是科學中，甚至最普通的生活用品中，中學數學中對稱的形式隨處可見。人類在漫長的歲月里，體驗著對稱，享受著對稱。所以對稱思想方法應該在《初中課標》和《高中課標》中給予提出，因為這一思想是貫穿小學數學、中學數學直到整個數學學科的一個永恒的概念。其實不僅在數學中，在宇宙萬物中對稱都是一個至簡至深的概念，它是美的基本元素之一。但我相信數學是最能理解對稱本質的一門學科。因此，在日常的數學教學中，要循序漸進地引導學生欣賞數學中的對稱美，掌握數學中的對稱思想，從而創新性地去應用數學中的對稱思想[5]。通過對數學對稱美的揭示，加強數學審美教育，使學生對數學產生一種積極而強烈的認識情緒，激發和增強學生的數學學習興趣，使學生的情感受到陶冶，意志得到鍛煉，從而對學習動機起到強化作用。