對高中數學概念生成教學的思考
——以聽“反正弦函數”一課為例

陸燕鳳

（上海市嘉定區第一中學，上海）

最近，在某中學聽A老師上了一節別開生面的數學概念課“反正弦函數”，我被深深觸動了。A老師整節課引領學生一起探討反正弦函數的來源，讓學生在課堂活動中自行獲得反正弦函數的概念，引導學生經歷從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象的過程，逐步理解數學概念的本質。與其他老師相比，A老師完成的教學內容很少，但是，他在概念生成的環節上不惜時不惜力，給學生創造了充分的思考空間。三角函數對學生來說是高中階段的一個難點，全新的數學概念和抽象的數學符號，同時反正弦函數又涉及反函數的基本概念和性質，A教師把教學重點放在數學概念生成過程，不僅可使學生加深對反函數概念的理解，而且能為其他反三角函數的學習做充分準備，起到承上啟下的重要作用。

以下是筆者結合A老師的“反正弦函數”一課，對數學概念生成教學的思考，筆者認為開展概念生成教學需做到以下幾個步驟。

一、了解背景，聯系實際

“反正弦函數”這節課中，教師是這樣引入的：三角學起源于測量，天文測量、航海測量等都是利用三角形之間的邊角關系來實現的。教師介紹三角學起源的背景，讓學生感受數學源于實際應用，那么數學在學生的頭腦中便鮮活起來。這樣的引入簡單直接，更貼近學生的生活實際，更能激起學生學習的欲望。數學概念一般來源于實際問題的解決或數學自身發展的需要。在概念生成過程中，介紹概念的發生、發展過程，介紹概念的來龍去脈，能幫助學生更精準地理解數學概念的本質。

二、設計問題，引發沖突

“反正弦函數”這節課中，教師是這樣拋出問題的：在解決測量問題的計算過程中，我們總是會遇到這樣兩大類問題：一類是已知角的值，求三角比的值。然后教師以問題串的形式提出兩個問題。問題（1）已知那么角x如何表示呢？問題（2）已知那么角x如何表示呢？對于問題（2），無法用特殊角表示，但從問題（1）的解決過程中知道，可以利用三角函數圖象或者三角函數的周期性來理解方程的解，學生的思維經歷了從特殊到一般的過程。概念教學中，將概念生成過程問題化，以問題串的形式層層遞進，激活學生的思維，讓學生在發現問題、解決問題的過程中主動建構數學知識。在教學過程中設計一些能引發學生認知沖突的問題，讓學生帶著問題去思考，才能有新的發現。

三、自主探究，合作交流

在“反正弦函數”一課中，教師讓學生討論以下問題：正弦函數是否存在反函數？選取怎樣的區間，正弦函數才能存在反函數？如果請你定義反正弦函數，你會選取哪個區間？學生在探究的過程中體會到雖然正弦函數不存在反函數，但只要選取某一區間使得y=sinx在該區間上存在反函數，那么用正弦值表示相應角的問題就迎刃而解了，而反正弦函數研究的意義就在于此。數學概念呼之欲出了，而教師卻并不急于給出反正弦函數的定義，而是讓學生交流為什么選取這樣的區間的理由，讓學生在問答過程中慢慢靠近反正弦函數的定義，讓學生真正參與數學概念生成的過程。概念教學中，教師要尊重學生的主體性，提供充分的思考空間，讓學生在探究問題中表達自己的想法，修正自己的發現，完善自己的知識結構。

四、歸納總結，形成概念

在“反正弦函數”一課中，學生在給反正弦函數下定義的過程中，由于沒有現成的符號，學生難以表達時，教師幫助學生一起回顧：反函數與原函數對應法則的寫法和在研究指數函數的反函數時如何引進新的對數符號。于是，學生在教師的點撥和鼓勵下，根據自己的經驗，大膽給出反正弦符號x=sin-1y。教師及時肯定學生的表述，讓學生真正體會到知識收獲的快樂。最后，教師修正符號，引入新的符號arcsin，并且解釋arcsin的意義。從概念形成過程來看，學生進行了充分的自主活動，經歷了概念發生的全部過程，這對學生把握數學概念本質具有重要的意義。

五、吸收精華，感悟思想

“反正弦函數”一課，教師把教學重點放在概念生成的過程中。教師從具體實例著手，讓學生經歷“從簡單到復雜”“從特殊到一般”“從局部到整體”的思維過程，幫助學生逐步建構數學概念，讓學生通過智力參與、主體體驗、合作交流等方式，經歷“再創造”數學的過程，這是數學概念教學的意義所在。利用本節課的數學思想和研究方法，同樣也可以研究其余的反三角函數，于是后續的學習將更加自然順利。波利亞指出：“與其給人以死板的知識，不如給人以生動活潑的方法，點石成金的策略和手段。”教師應引導學生感悟隱含于概念形成過程中的數學思想方法。

數學概念是數學學科知識體系的基石，是學生理解和掌握數學理論和方法的關鍵，因此，教師在概念教學過程中必須注重概念生成的過程，幫助學生正確理解數學概念的內涵和外延，把握數學概念的本質。