淺談數學中的逆向思維

（長春十一高中興華學校 吉林長春 130102）

數學教學的重要任務之一是培養學生的思維能力，而思維能力是雙向的，一般地，在數學學習中，大多運用的是正向思維。學習概念、公式、定理、法則等大多是正向思維的結果，概念、公式、定理、法則的正向應用，導致我們形成思維定勢，只習慣正面思考問題，從而忽略了概念、公式等的逆向應用，因而使學生缺少了應變能力，不利于學生數學能力的培養。

逆向思維是指根據概念、原理、思維、方法及研究對象的特點，從問題相反或否定的方向思考，換一種新的角度分析解決新問題。逆向思維也叫求異思維，它是對習慣的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。

逆向思維不僅在數學中有著廣泛的應用而且在對許多生活、生產中的問題進行逆向思維時往往也能閃爍出智慧的光芒。因此，平時多重視對學生逆向思維的訓練，這有利于激發學習數學的興趣，培養良好的思維品質，在開發智力，培養能力方面都具有十分重要的意義。

《全日制義務教育數學課程標準》將培養學生三大能力之一的“邏輯思維能力”改為“思維能力”雖然去掉兩個字，意義卻非同尋常，充分說明了人們已經意識到了逆向思維的重要性。《全日制義務教育數學課程標準》明確提出要培養和發展學生逆向思維和實踐能力，并要求教師引導學生主動地進行觀察、實驗、猜想、推理和交流等活動，讓學生獲得必需的數學知識，會運用數學逆向思維去解決實際問題，使學生獲得進行數學切身體驗和能力[4]。《普通高中數學課程標準》（實驗）的總目標分為六個方面，與過去傳統的教學大綱規定的“教學目的”相比有著本質的區別，改變了傳統數學教學中“重知識內容和結論，輕學習過程和方法，重知識與技能教學，輕情感、意志和價值的培養”的現象，倡導積極主動、勇于探索的學習方式，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的逆向思維[5]。

所謂逆向思維就是從正常思維出發點的另一端逆著原方向思維，反映在逆解題中就是反向推理及逆向運算， 它是學生思維發展和掌握學習方法提高運算能力不可逾越的階段。逆向思維的應用主要有一下幾種：

1.在概念教學中，注意概念、定義的逆用，探索解題捷徑

數學定義包含著兩個互逆的正確命題，設計一些逆用型習題，引導學生逆用定義求解數學間題，能加深對基本要領的理解，而且常常能使解題過程顯得簡潔明快。

2.逆用公式、法則，提高解題技巧

小學數學中有很多的公式、法則，而且形式多變。如能對公式作適當的變形或逆用公式，不僅能使學生更牢固的掌握知識，而且能訓練其運用知識的靈活性，提高解題技巧。

3.逆向聯想尋求解題方法

題設條件是解題探求思路的主要依據。逆向思維是指從題設條件中去打開思路，尋求解決問題的方法。

4.逆用常規方法，開拓解題思路

所謂的常規方法，是我們習慣的順向思考的方法，有些問題用常規方法求解十分繁難。此時若從常規方法的反面去考慮，往往能開拓思路，迅速求解。

例如：池塘水面上生長著一些浮萍，它們所占水面每天增加1倍，經過100天，整個池塘的水面長滿浮萍。經過多少天池塘中的浮萍的面積為水面面積的一半？一些學生根據經驗都得到答案99天，但是很少有人能夠說明理由。如果這個題目利用逆向思維，就會很容易解答出來。

對于逆向思維的培養，主要提出以下幾個方面：

1.注重反例的應用

重要的反例往往也會成為數學殿堂的基石，反例不僅在培養學生逆向思維能力中占重要地位，同時在改正錯誤觀點和開拓數學新領域方面也起到了關鍵的作用。反例對于搞清楚一個似是而非的數學命題是常用的一種非常有效的解決辦法。

2.引導學生運用逆推求解的方法解決數學問題

對于某些特定結構的應用題，可以引導學生進行逆向思考，從左后的結果出發，按照與原來相反的順序去推求初始條件，從而探求到解題思路。

例8 100個人排成一行，從1開始往下報數，報奇數的出行，留下的人再重新報數。這樣繼續下去……，最后留下一個人，問這個人第一次報數時報的數是多少?

分析:如果按照正向思維的方式進行推理，過程會十分復雜。但是，如果在解這道題時，有意識地引導學生運用逆推求解的方式，就非常簡捷因為，很明顯:最后留下的人一定在每次報數時都是報的偶數，所以，這人第一次報的數一定是2的冪而2的6次方是64， 2的7次方是128所以，最后留下的人第一次報的數應該是64。

可以看出，利用逆向思維來思考某些數學問題的證明，可以使問題更加簡化，思路更加清晰。

對于數學科目的講授，教師往往更加注重從正向思維的角度出發，這樣學生受定向思維的影響，考慮問題也傾向于從正向出發，解題中明顯反映出思維的呆板性。逆向思維不僅能夠加深學生對基礎知識的理解，而且可以培養學生的發散思維能力，因此，在數學教學中，要盡早，有意識地培養學生的逆向思維。

當然，在數學教學過程中還會有很多地方可以應用逆向思維，只要我們數學教師認真思考，做一個有心人，將逆向思維有意識地貫穿到教學過程當中去，就會幫助學生培養逆向思維能力。數學教學的仟務并不僅僅是培養做題的機器，更重要的是培養學生的思維能力，從而提高學生的整體素質。希望我們數學教師能夠在日常教學當中注意培養學生包括逆向思維能力在內的各種創造性思維的能力，為素質教育做出自己應有的貢獻。