經驗改造，彌合教與學的裂縫

□ 江蘇省射陽縣明達雙語小學 孫其強

以平面圖形面積計算為例，要想實現對已有經驗的順利改造，要求學生能利用杠桿經驗——面積單位來測量原始經驗以及構造新經驗。充分考慮杠桿經驗在整個經驗發展體系中的張力，聚焦“教”與“學”的交錯點，進行合理改造，才能實現學生對已有經驗的順利改造。

一、改造原始性經驗

長方形面積計算公式的推導與面積單位的定義聯系緊密，需要我們注重測量經驗，用單位面積去丈量矩形。要幫助學生順利改造原始經驗，必須用杠桿概念——小方塊表示的單位面積來入手。顯然，學生原始經驗已經無法滿足圖形的多樣性。如果三角形、平行四邊形、梯形等圖形的面積無法直接劃分成整數份的小正方形，如果用方格圖去規劃，對學生而言就是一次換湯不換藥的操作活動，原始經驗并未得到改造。原始經驗雖粗淺卻意義重大，教師需要幫助學生深入分析來改造原始經驗，使學生自發認識到“長方形無法整數切分的情況下如何計算？為什么長乘以寬就可以算出矩形面積？”從而將客觀經驗改造成理性經驗，促成“教”“學”經驗的對接。

當學生用目測法準確比較出書本和報紙的面積大小后，讓他們再估測幾本數學書可以鋪滿一張人民日報，并提問“數學書鋪滿報紙說明它們的面積有什么關系”，使學生感知到，單位面積是可以變化的，以數學書大小為面積單位，根據覆蓋報紙所需要的本數就可以計算出報紙的面積。鋪一鋪后，讓學生比較教室前后兩塊黑板的面積；兩個面積非常接近，既無法依靠平鋪測算，也無法將兩塊固定黑板疊合在一起進行比較。這一新疑難對“平鋪”經驗提出了質疑：“剛才已經測量出報紙的大小相當于5本數學書，現在只需要用報紙去分別度量一下兩塊黑板大小就行！”于是學生領悟到面積單位只是一個測量工具，根據需要可以任意轉換。

用數學書鋪滿報紙的操作活動，直擊了面積單位的杠桿本質，有效地幫助學生生成了“利用臨時性工具測量報紙和黑板大小”的經驗。因此，提升原始經驗，就需要根據經驗斷層的特點，促成經驗對接，拓寬學生自悟的空間。

二、改造再認性經驗

當學生遇到相似情境時，就會自動聯想并遷移原有經驗，在與新知磨合的過程中形成再認性經驗。再認性經驗生成是一個循環往復的過程，正、負遷移都有可能發生，也會有一個曲折調試的過程。教學的關鍵就是如何激活再認經驗，并最大限度發揮它的潛能。

在學習平行四邊形面積計算時，用鄰邊相乘（類比“長×寬”）就是一種再認性經驗。如何讓停滯在“鄰邊相乘”歧路的學生順利沿著割補法的道路走下去呢？如果直接提示引導，生硬跳轉到剪切操作活動中，學生難以分辨平行四邊形鄰邊與長方形鄰邊的異同。

當經驗生長出現偏差，可以讓學生研究差異，追本溯源，以原始經驗來撬動再認經驗，疏浚“教”與“學”的渠道。當學生偏執地認為平行四邊形面積＝底×鄰邊時，呈現格子圖。學生會將面積認定在一個彈性區間里。繪制格子圖的過程不僅讓學生認識到矩形和平行四邊形的面積差異，也讓學生在面積測量的原始經驗支點上認清了兩者的相同點，即“每行排放單位面積的個數×行數”。接下來，讓學生自主利用格子圖測試平行四邊形面積計算公式。

再認性經驗的生成過程總是伴隨著對原始經驗的質疑和否定，但是我們應該認識到再認性經驗對原始經驗的沖擊與動搖是有著積極意義的，它是再認性經驗獲得產生和發展賴以依存的土壤，沒有對原始經驗的懷疑和反思，再認性經驗就失去了根基，也失去了對比修正的參照物。仍然以上面平行四邊形的面積為例，如果沒有對數方格法的反思，如果沒有質疑過“為什么數方格的方法用在矩形里成立，到平行四邊形里卻行不通”，如果沒有質疑過“矩形的長寬相乘是否滿足方格數的要求”，將平行四邊形轉化為矩形的做法也就失去了合法性，也無法推翻平行四邊形面積等于鄰邊相乘的謬論。

原始經驗的延伸產生錯誤，在糾錯過程中完善經驗、再認經驗，學生才能主動經歷“從肯定到否定、從錯到對、從破到立”的思維鍛煉，使再認性經驗獲得實踐認證。

三、改造再生性經驗

當學生第三次遇到類似情境時，成熟的再認經驗即時復現，學生能直接應用，這樣的經驗稱為再生性經驗。三角形面積推導經驗對梯形面積公式推導就是再生性經驗。平行四邊形面積公式對三角形面積公式也是再生性經驗，但教材采用的是兩個相同三角形拼接成一個平行四邊形，這與平行四邊形轉化為長方形的割補經驗產生偏離，因此就屬于再認性經驗。

在推導三角形面積計算公式時，再生性經驗也能起作用。無論是什么三角形，特殊還是一般，也能通過復雜的割補法轉化成四邊形。那么，為何教材棄割補法不用，選擇了全等拼合法？就學生認知水平而言，學生能夠想到和接受割補等腰三角形的方法，但不等邊三角形需要切割中位線，卻超出了學生的空間想象力。學生很難想到正確的割補法，即使老師作了說明解釋，如果不演示，學生也難以掌握。而全等拼合法，易學易懂，便于操作和推廣普及。

再生性經驗之所以無法“再生”，是因為很多人沒有領悟“再生”精髓。要有機融通“割補法”與“全等拼合法”，由再認經驗躍升至再生經驗，就必須重新利用再生性經驗。不妨給學生出示1個等腰三角形和1個一般三角形。在不告知全等拼合法的前提下，原始經驗割補自動復位，學生拿起三角形就開始剪切。一番自主操作后，學生發現等腰三角形容易變形，順利推導出“三角形面積=底÷2×高”，但一般三角形卻非常棘手。一起觀察剪開的圖形：為什么等腰三角形容易轉化？因為它能沿著高線分成2個全等的三角形。怎樣變形一般三角形？學生會想到“變出兩個完全一樣的三角形”“任意兩個完全一樣的三角形可以拼合成一個平行四邊形”，并得到“三角形面積=底×高÷2”。此時，教師只要抓住“底÷2×高”與“底×高÷2”等價，就能讓學生從割補法的再認經驗躍升到再生經驗。

再生性經驗與再認性經驗不同，再認性經驗是通過轉化法，在原有的經驗方法基礎上進行調整改造，可以說是從原有經驗上孵化出來的新生命，仍帶有原始經驗的遺傳基因。而再生性經驗則是克隆了原始經驗的起源性片段，是從頂層設計上進行復制，如通過對“將兩個全等三角形拼接成平行四邊形然后再還原”的方法移植到梯形面積推導中，這是再生性經驗。再生性經驗具有潛伏性，一經確認，在以后的使用中會逐漸脫離母本記憶。如每次用到梯形面積時，不會想到它與三角形的面積有什么關系。

學生在再生性經驗的基礎上，經歷一系列探究活動躍升到再認性經驗，將三角形面積公式推向一般。教師隨即引導學生融匯了割補法和拼合法，兩種認知經驗交互作用。先運用后延展，立足再生性經驗，延伸再認性經驗。學生學到的不僅是三角形面積計算公式，更學會了變通應用原始經驗。

經驗對于學習就像積累對于寫作。數學教學要以學生的經驗為基準，結合經驗錯位深入到教學的缺口里，通過改造經驗，彌合“教”與“學”的不協調，使教條經驗變成有用經驗。