抽屜原理的探究

馮嵐

摘 要：抽屜原理是高中所需要學(xué)習(xí)的重要原理，通過對(duì)該原理的深入研究與分析，不僅能夠更好解決數(shù)學(xué)問題，而且也能夠?qū)ξ覀兊纳顚?shí)踐提供幫助。本文從抽屜原理概念入手，對(duì)其原則及應(yīng)用進(jìn)行分析，希望可以為同學(xué)們抽屜原理地更好掌握提供幫助。

關(guān)鍵詞：抽屜原理 應(yīng)用 原則

中圖分類號(hào)：G633.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）12-0-01

一、什么是抽屜原理

抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理，最先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，也可稱為“狄利克雷原理”。這個(gè)原理形象的說就是：往抽屜里面放蘋果，比如有四個(gè)蘋果需要放在不同的三個(gè)抽屜里，如果依次放入，那么不管第四個(gè)蘋果放在哪個(gè)抽屜，這個(gè)抽屜都會(huì)比其它兩個(gè)抽屜多出一個(gè)蘋果；如果先將前兩個(gè)蘋果放入同一個(gè)抽屜，無論后面兩個(gè)蘋果放入哪個(gè)抽屜，都會(huì)有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果；如果四個(gè)蘋果都放在同一個(gè)抽屜里，那么該結(jié)論照樣成立。用公式表達(dá)就是：將n件物品放入m個(gè)抽屜中，如果n÷m=a，那么一定有一個(gè)抽屜中至少有a件物品。將n件物品放入m個(gè)抽屜中，如果n÷m=a...b，其中b>0，那么一定有一個(gè)抽屜中至少有a+1件物品。抽屜原理內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素，利于讓人接受，很多類似問題都可以轉(zhuǎn)化為抽屜原理來解決。

二、抽屜原理的深入剖析

1.抽屜原理常見形式

①抽屜原理的用途很多，比如在任意的37個(gè)朋友中，至少有幾個(gè)人的屬相相同？那么12個(gè)生肖可看做12個(gè)抽屜，37個(gè)人可看做37個(gè)蘋果。以最平均的數(shù)據(jù)來看37=3×12+1，每個(gè)抽屜裝3個(gè)蘋果，剩下的1個(gè)蘋果無論放到哪個(gè)抽屜里，都會(huì)有1個(gè)抽屜里有4個(gè)蘋果。那么，在這個(gè)問題里，至少會(huì)有4個(gè)朋友的屬相相同。

②抽屜原理的反向運(yùn)用

紅黃藍(lán)白四種顏色的玻璃球各10個(gè)，放入同一個(gè)袋子里。那么，至少取多少個(gè)玻璃球，可以保證取到2個(gè)顏色相同的球？可以把四種顏色看成4個(gè)抽屜，把要取出的玻璃球看做蘋果，要保證取到2個(gè)顏色相同的球，就代表著有2個(gè)“蘋果”要裝到1個(gè)“抽屜”里，應(yīng)該至少取幾個(gè)蘋果呢？

2.制造抽屜的原則

在解決問題過程中，首先要分清什么可看做抽屜，什么可看做蘋果。這時(shí)需要結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)和確定解決問題所需的“抽屜”及其個(gè)數(shù)，為使用“抽屜”鋪平道路，最后再應(yīng)用原理解決問題。

事實(shí)上，應(yīng)用抽屜原理的關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)“制造抽屜”，但在有些問題中，抽屜和蘋果并不明顯，這就需要精心構(gòu)造它們。對(duì)于同一個(gè)問題，可以根據(jù)不同的情況，從不同的角度設(shè)計(jì)“抽屜”，從而形成不同的制造“抽屜”方式。

例題1：17名同學(xué)參加一次考試，考試題是三道判斷題（答案只有對(duì)錯(cuò)之分），每名同學(xué)都在答題紙上寫出了三道題的答案。試說明至少有3名同學(xué)的答案是一樣的。

設(shè)計(jì)“抽屜”思路：這道題需要先確定共有幾種不同答案的情況，利用加乘原理可得出2*2*2=8種，這8種不同的答案情況就是想象中的“抽屜”，17個(gè)同學(xué)的答案就是想象中的“蘋果”，答案全都“對(duì)”就放在全對(duì)的里面，全都錯(cuò)就放在全都錯(cuò)的里面，答題結(jié)果無論是對(duì)還是錯(cuò)，肯定會(huì)投到每一個(gè)抽屜里面。這就得出來：17個(gè)蘋果，8個(gè)抽屜，所以得出17÷8=2...1，然后2+1=3。根據(jù)抽屜原理，1個(gè)抽屜里至少有不少于3個(gè)蘋果，意味著題中至少有3名同學(xué)的答案是一樣的。

例題2：用紅藍(lán)兩種顏色將一個(gè)2×5方格圖中的小方格隨意涂色，每一個(gè)小方格涂一種顏色。試說明必存在兩列，它們的小方格中涂的顏色是完全相同的。

設(shè)計(jì)“抽屜”思路：根據(jù)此題，我們先對(duì)兩行涂色的可能性進(jìn)行預(yù)算，共得出4種涂色可能性。那么根據(jù)分析可以得出，表格的5列就是“蘋果”，4種涂色可能性就是“抽屜”，即把5個(gè)蘋果放在4個(gè)抽屜里，一定有2個(gè)蘋果落在1個(gè)抽屜里。落在同一個(gè)抽屜里的蘋果在題中就意味著這兩列進(jìn)了同一個(gè)抽屜，即它們的涂色是完全相同的。即5÷4=1...1，1+1=2，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜中有不少于2個(gè)蘋果，即這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。

根據(jù)以上兩題的解題思路我們可以得出：用抽屜原理解決問題，就要掌握不斷尋找蘋果和抽屜的技巧。

3.化繁為簡(jiǎn)的應(yīng)用

較復(fù)雜的抽屜原理需要在問題中多次的運(yùn)用抽屜原則，這樣才能將思路理清，從而化繁為簡(jiǎn)，較好的去解決問題。

例題3：從1，2，3，4，.....2013，這些自然數(shù)中，最多可以取（ ）個(gè)數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于9。

化繁為簡(jiǎn)思路：經(jīng)過試算可以看出（見下圖）：前九個(gè)數(shù)符合題中條件，緊跟著9個(gè)數(shù)就不符合題中條件。那么在這一共2013個(gè)數(shù)字中，2013÷9=223...6，也就說完整的可以寫223行9個(gè)數(shù)字組合。其中符合條件的只有奇數(shù)行，所以，224行可以與112行的數(shù)字組合，那么最多可以取112*9=1008個(gè)數(shù)字。

例題4：某次選拔考試，共有2007名同學(xué)參加，海海說：“至少有10名同學(xué)來自同一所學(xué)校”。如果他的說法是正確的，那么最多有多少個(gè)學(xué)校參加了此次考試？

化繁為簡(jiǎn)思路：按照抽屜原理，可以得出公式，即2007÷（10-1）=223，但223所學(xué)校不能保證有10名同學(xué)來自同一所學(xué)校，只能2007÷222=9...9，9+1=10，可以保證。所以，可以得出最多有222所學(xué)校參加了此次考試。

結(jié)語

抽屜原理是我們需要學(xué)習(xí)和掌握的重要原理之一，對(duì)其進(jìn)行研究探索，能夠讓我們?cè)诖嗽韺W(xué)習(xí)過程中達(dá)到深入的效果。我們還需要將自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)融入到原理學(xué)習(xí)之中，讓其為我們提供更大的幫助，讓其帶給我們生活中解決問題的方式和路徑。

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