“數形結合”巧解題

楊泓軒

上課遇到數形結合的問題時，老師經常會提到著名數學家華羅庚的名言，“數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休”.下面一道選擇題，我就是用先“形”后“數”來解決的.具體如下：

三角形的三條外角角平分線所在直線相交構成的三角形（ ）.

A.一定是銳角三角形

B.一定是鈍角三角形

C.一定是直角三角形

D.無法確定

這類題目如果出現在考試卷上，一般都會放在選擇題的最后兩個題目中.這題沒有圖形，大多數人在考試時都會敗下陣來.有些同學可能確實不會，而有些同學可能有能力解決，但沒有畫圖的意識，往往成了解題的障礙！乍一看，題目確實無從下手.考試時，我遇到這道題也是這樣的感覺，但我沒放棄，而是結合題目的要求，在草稿紙上涂涂畫畫，一涂一畫，這道題的答案就慢慢清晰了，顯然，如圖1，△DEF應該是銳角三角形，選答案A.

僅有一個圖形不嚴謹，因為從“角度”來說，可以將三角形分為三類.于是，我又畫出了直角三角形（如圖2）與鈍角三角形（如圖3）的情況.發現最后的三角形都是銳角三角形.也就是說，不論原△ABC是何種三角形，最后的△DEF都是銳角三角形.

圖形非常直觀，但僅有直觀的結論是不嚴謹的，還需要證明.可以從“數”的角度進行證明，設∠BAC、∠ABC、∠BCA的度數分別為x、y、z，則∠DAB=[12]（y+z），∠DBA=[12]（x+z），所以∠D=180°-[12]（y+z）-[12]（x+z）=90°-[12z]<90°.同樣的道理，∠E=90°-[12y]<90°，∠F=90°-[12x]<90°.從而，得到△DEF是銳角三角形.

這道題發現結論、證明結論的過程充分體現了“數形結合”的好處.圖形的直觀幫我們找到答案與思路，但嚴謹性……