鞏固知識探錯源 加強理解提能力

“平面圖形的認識（二）”是在七年級上學期學完“平面圖形的認識（一）”后，繼續幾何學習的又一段旅程.在本章中，對數學知識和能力要求都有了進一步的提高，學習本章的過程中，很容易出現對知識理解及應用方面的問題.下面呈現同學們在學習中出現的一些典型錯誤，希望同學們認清錯誤原因，在后續的學習和解題中避免出現類似的錯誤.

易錯點一，對課本中的結論斷章取義

例1 下列說法中，正確的是（ ）.

A.同位角相等

B.同旁內角相等

C.兩平行線被第三條直線截成的同位角的平分線平行

D.兩平行線被第三條直線截成的同旁內角的平分線平行

【錯解】A.

【正解】C.

【學生自述】認為課本上有“同位角相等”這句話.[圖1]

【剖析】部分同學的錯誤在于將課本上的“兩直線平行，同位角相等”這個結論斷章取義了，認為所有的同位角、內錯角都是相等的，同旁內角都是互補的，實際上他們忘記了要想得到這些結論，都有一個大前提，那就是“兩直線平行”.其實，舉出反例（如圖1），即能說明問題，當兩直線a與b不平行時，顯然同位角∠1與∠2是不相等的，可以通過畫圖加深對結論的認識和理解.D選項中兩平行線被第三條直線截成的同旁內角的平分線互相垂直.

例2 已知三角形三邊的長分別為3、a、8，那么a的取值范圍是 .

【錯解】a<11.

【正解】5

【學生自述】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”的結論可以得到a<3+8.

【剖析】本題的錯誤源還是在于對課本中的結論斷章取義，蘇科版教材七年級下冊第23頁有結論“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，很多同學把“任意”兩個字丟掉了，一般我們只要看最小的兩條邊之和大于最大的邊即可.由于本題中a的大小的不確定性，故需分類討論：①a最大，故a<3+8；②8最大，故8<3+a，綜合①②可得a的范圍.當然，對于課本上的這個結論，我們經過變形還可以得出這樣的結論：[兩邊之差]<第三邊<兩邊之和，靈活地運用這個結論，可以提高解題的效率.

易錯點二，列舉時無序，導致考慮不周全

例3 長為2、3、4、5的四根木條，選其中三根組成三角形，選法有 種.

【錯解】2.

【正解】3.

【學生自述】解答時要考慮的情況多了，容易亂，有一組漏考慮了.

【剖析】對于四個數中選三個，部分同學在考慮問題時思維上缺乏有序性，應該按照2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5的順序羅列，這樣能夠不重不漏.寫出各種情況后再利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結論（其實只要看最小的兩邊之和大于第三邊即可），判斷哪些不能組成三角形.掌握了具體的方法，面對在更多的木條中選擇3根組成三角形的問題，便都能從容面對了.

易錯點三，搞不清鈍角三角形的高怎么畫

例4 過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（ ）.

【錯解】B.

【正解】A.

【學生自述】作BC邊上的高，以為只要和BC垂直就行了.

【剖析】在作三角形的高時，最容易出錯的就是畫鈍角三角形中鈍角所在的兩條邊上的高，因為這兩條高都是在三角形的外部.對于三角形的高，課本上是這樣描述的：“從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.”由定義可知，BC邊上的高，肯定要過頂點A，同時垂直于BC所在直線；同樣，要作AC邊上的高，也是要過頂點B，而且垂直于AC所在直線.

易錯點四，等腰三角形分類討論時未檢驗三邊能否構成三角形

例5 （1）已知等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則它的周長為 .

（2）已知等腰三角形的一邊長是4，周長是18，則它的腰長為 .

【錯解】（1）10或8；（2）4或7.

【正解】（1）10；（2）7.

【學生自述】知道等腰三角形的腰和邊不明確時要分類討論，但忘記檢驗結果了.

【剖析】有的同學做有關此類等腰三角形題目時，頭腦中已經有明確的分類討論思想了，是值得肯定的，但是討論完了，一定不要忘了檢驗三邊是否能構成三角形.如（1）中，2，4，4；2，2，4（2+2=4，故舍去），如（2）中，7，7，4；4，4，10（4+4<10，故舍去）.

易錯點五，不會正確列出關于未知數的表達式

例6 在△ABC中，∠A=[12]∠B=[13]∠C，則∠A=

°，∠B= °.

【錯解】[108011]，[54011].

【正解】30，60.

【學生自述】設∠A=x，則∠B=[12x]，∠C=[13x]，根據x+[12x]+[13x]=180°，解出x，再算出∠B即可.

【剖析】就本題而言，很多同學的困惑是：有三個未知量∠A，∠B，∠C，它們之間有一定的比例關系，大部分同學都想到了用關于未知數x的表達式來表示這三個未知量.其實只要選定一個量，如∠A，那么其他的量∠B，∠C都設法用∠A去表示即可.如設∠A=x，則根據∠A=[12]∠B，可知∠B=2∠A=2x，同理∠C=3∠A=3x，根據x+2x+3x=180°，解出x即可.

易錯點六，對平行線的判定掌握不牢

例7 如圖，若∠1=∠2，則 ∥ ；

若∠3=∠4，則 ∥ .

【錯解】AD∥BC；AB∥CD.

【正解】AB∥CD；AD∥BC.

【學生自述】有點搞不清到底是哪兩邊平行.

【剖析】此題的錯誤源在于沒有弄清楚圖形中角的位置關系，如∠1和∠2是內錯角.分析時不妨借助基本的“N”或“Z”字型，再搞清是哪兩條線被第三條線所截，這樣便能輕松解決問題.

易錯點七，對多邊形內角和公式缺少理解

例8 一個多邊形的內角和是1620°，這個多邊形的邊數是 .

【錯解】9.

【正解】11.

【學生自述】直接用算術方法1620°÷180°=9，最后忘記加2了.

【剖析】n邊形的內角和公式是（n-2）×180°，若建立方程（n-2）×180°=1620°來解，估計會大大降低此類問題的錯誤率；若用算術方法，那就要記住最后要加上2才行.

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學，無錫市龐彥福名師工作室）