三大幾何作圖問題

蔡蓉

我們知道，使用刻度尺、量角器等工具可以畫一條線段等于已知線段，畫一個角等于已知角，畫已知線段的中點，畫已知角的平分線等等.那么，如果沒有量角器，直尺又上沒有刻度，該如何畫圖呢？

曲和直是幾何圖形的基本特征，人類最早會畫的幾何圖形就是直線和圓.畫直線時使用一個邊緣平直的工具，畫圓時使用一端固定而另一端能旋轉的工具，這樣就產生了直尺和圓規.在數學中，我們常限定使用沒有刻度的直尺和圓規作圖，這就是尺規作圖.

比如，我們可以通過尺規作圖作出已知角（∠AOB）的平分線，如圖1，具體作法如下：

（1）以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D.

（2）分別以點C、D為圓心，大于[12CD]長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點P.

（3）作射線OP.

射線OP就是∠AOB的平分線.

再如，我們還可以通過尺規作圖作已知線段（AB）的垂直平分線（垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線），如圖2，具體作法如下：

（1）分別以點A、B為圓心，大于[12AB]的長為半徑作弧，兩弧相交于點C、D.

（2）過C、D兩點作直線.

直線CD就是線段AB的垂直平分線.

等同學們到初二階段學習了三角形全等的相關知識以后，就可以知道圖1中射線OP為什么是∠AOB的平分線、圖2中直線CD為什么是線段AB的垂直平分線了.

我們不禁要思考，是不是所有圖形都可以用尺規作圖作出來呢？漫長的作圖實踐，按尺規作圖的要求，人們作出了大量符合給定條件的圖形，即便是一些較為復雜的作圖問題，獨具匠心地經過有限步驟也能作出來.到了大約公元前6世紀到4世紀之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個作圖問題.

一、三等分角

關于三等分角問題，可能有人會認為，只是由二等分到三等分一個小小的變化，沒有什么困難吧.古希臘每一位接觸到這個問題的人都認為它簡單，毫不猶豫地拿起了直尺和圓規，但時間一天天過去，磨禿了無數支筆，卻始終沒有畫出符合題意的圖形.這個看似平淡無奇的幾何問題，吸引了許許多多的數學家，從古希臘最偉大的數學家阿基米德到笛卡爾、牛頓，都紛紛拿起了直尺和圓規來考驗自己的智力，結果他們都失敗了.兩千多年過去了，一代又一代數學家和數學愛好者為這個問題絞盡腦汁，卻始終沒有人能沖出這個迷宮.

二、立方倍積

傳說這問題的來源，可追溯到公元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘第羅斯島（Delos），造成四分之一的人口死亡.島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意.神指示說：“要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍.”人們便把每邊增長一倍，結果體積當然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變為一個長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當時著名的學者柏拉圖.柏拉圖經過長時間的思考也無法解決，他搪塞說：“由于第羅斯人不敬幾何學，神靈非常不滿，才降臨了這場災難.”

這個悲慘的故事是人們虛構的，但其中提到的數學問題就是著名的“立方倍積問題”，又叫“第羅斯問題”. 用數學語言表達就是：已知一個立方體，求作一個立方體，使它的體積是已知立方體的兩倍.

三等分角、立方倍積這兩個問題直到1837年才被法國的一名年輕數學家旺策爾（Wantzel，1814～1848）嚴格證明為不可能實現.

三、化圓為方

公元前5世紀古希臘數學家、哲學家安納薩格拉斯在研究天體過程中發現，太陽是個大火球，而不是所謂的阿波羅神.由于這一發現有悖宗教教意，結果他因褻瀆神靈獲罪，被抓進了牢房.在監獄里，安納薩格拉斯對自己的遭遇憤憤不平，夜不能眠.夜深了，月光透過正方形的鐵窗牢房，安納薩格拉斯不斷地變換觀察的方位，一會兒看見圓月比方窗大，一會兒看見方窗比圓月大.最后他說：“算了，就算兩個圖形的面積一樣好了.”于是他思考了這樣一個問題：怎樣作出一個正方形，使它的面積與一個圓的面積相等？當然，他失敗了.兩千多年來，無數數學家也都失敗了.

該問題直到1882年才被德國數學家林得曼（Lindemann，1852～1939）證明為不可能實現.

在三大幾何作圖問題的探索過程中，有不計其數的數學家們前赴后繼地為之努力，甚至為此耗費了一生的光陰.在其中，有的人堅信問題一定會有解決的方法，他們認為只是還沒有找到這個方法而已.有的人則在解決問題的過程中靈活變通，巧妙地增加了一些條件，以此來幫助解答.例如，阿基米德在直尺上注明了兩個點，解決了三等分角問題；柏拉圖用了兩塊三角板解決了倍立方問題……還有的數學家在此基礎上，探索出了一些新的數學問題與理論.例如，柏拉圖的學生門奈赫莫斯為了解決立方倍積問題發現了圓錐曲線；在求解三等分任意角的過程中，希臘數學家相繼發展了高等幾何，其中有尼科梅德斯的蚌線、希皮亞斯的割圓曲線，還有阿基米德的螺線等等.

三大幾何作圖問題的真正解決是在19世紀解析幾何創立之后，人們知道了直線與圓分別是二元一次方程和二元二次方程的軌跡，交點則是方程組的解，簡單的代數知識告訴我們，一個幾何量是否能用尺規作出是看它能否由已知量經過有限次加、減、乘、除、開平方運算得到.

我們不妨來分析一下“化圓為方”問題.設一個正方形的邊長為a，一個圓的半徑為r，要使其面積相等，即a2=πr2.首先要用尺規作出π.要作π，只要考慮π是否為有理數.π不是有理數，這是由數學家林得曼首先證明的，從而確認了化圓為方是不能用尺規作圖解決的.

古希臘的三大幾何作圖難題，是數學史上璀璨的一筆.其魅力不僅僅體現在其問題本身，更多的是數學家們的不懈努力、希臘人的巧思、阿拉伯人的學識、西方文藝復興時期大師們的睿智以及19世紀最終的完美解答.正是有他們一代一代的持之以恒，正是有后浪推前浪的探索研究，才會有絢麗的數學史，才會有數學的蓬勃發展.

（作者單位：江南大學附屬實驗中學）