線角錯綜，厘清有招

毛巾鈞

蘇科版數學七年級上冊第六章“平面圖形的認識（一）”是大家系統地學習平面幾何的第一章.同學們對于幾何符號、幾何語言、幾何表述、幾何概念等的學習都是第一次，因而在練習中容易產生一些錯誤.下面針對本章中的幾個典型錯誤，進行具體分析點評，希望同學們吸取教訓并引以為戒，真正理解掌握本章有關知識，為后續的幾何學習夯實基礎.

易錯點一：對“有且只有”不理解

例1 下列敘述中不正確的是（ ）.

A.兩點確定一條直線

B.經過一點有且只有一條直線與已知直線平行

C.經過兩點有且只有一條直線

D.經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【錯解】C.

【正解】B.

【學生自述】對“有且只有”不太理解，照搬書上的原話做題.

【分析點評】“有且只有”有兩層含義：（1）有，表示存在；（2）只有，表示唯一存在.本題選項A與選項C雖然表述有所不同，但是實質相同.本題四個選項中只有B符合題意，即選項B是不正確的：當這一點在已知直線上時，經過該點就不存在直線與已知直線平行了.

易錯點二：對距離的概念不清晰

例2 在同一平面內，下列說法正確的是（ ）.

A.兩點間的線段就是兩點之間的距離

B.點到直線的垂線段就是點到直線的距離

C.兩點之間，直線最短

D.點到直線的距離就是該點到這條直線的垂線段的長度

【錯解】A或B或C.

【正解】D.

【學生自述】對“距離”沒有理解到位，概念混淆.

【分析點評】幾何概念“距離”的關鍵是長度，本章中出現兩個“距離”：（1）點與點之間的距離；（2）點到直線的距離.前者指連接兩點的線段的長度，后者指點到直線的垂線段的長度.如果真正理解距離的概念，那么所有有關的問題都會迎刃而解.

易錯點三：幾何原理

例3 如圖1，把彎曲的河道改直，能夠縮短航程.這樣做的數學原理是（ ）.

A.兩點之間，線段最短

B.兩點確定一條直線

C.兩點確定一條線段

D.垂線段最短

【錯解】B或D.

【正解】A.

【學生自述】實際問題與數學知識原理相結合，不知道如何對應.

【分析點評】本題主要考查學生對數學基本原理是否理解.實際問題中提及“縮短航程”，因而涉及長短問題.選項A和選項D都涉及“最短”，但選項D不合題意，而選項A“兩點之間，線段最短”，體現的正是兩點之間的所有連線中線段最短，符合實際問題.

易錯點四：幾何知識——互余、互補、對頂角

例4 如圖2，AB、CD相交于點O，EO⊥AB，則∠1與∠2的關系是（ ）.

A.相等 B.互余 C.互補 D.對頂角

【錯解】A或D.

【正解】B.

【學生自述】對頂角概念不清楚，不會進行幾何推理分析，僅靠觀察圖形就“猜”結果.

【分析點評】互余、互補、對頂角是本章的幾個基礎知識點，對這三個概念要理解到位：兩個角之和為90°，則兩角互余；兩個角之和為180°，則兩角互補；對頂角必須在兩條直線相交的條件下才會出現，需滿足兩個條件：（1）有公共頂點，（2）一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線.本題中，根據已知條件EO⊥AB，得出∠EOB=90°，根據CD為直線得出∠COD=180°，所以推出∠1+∠2=90°，根據定義，∠1與∠2的關系是互余.選擇A的同學犯了幾何解題僅看圖不計算的錯誤，選擇D的同學則是沒有完全掌握對頂角的概念.

易錯點五：幾何兩解問題

例5 已知線段AB=20cm，直線AB上有一點C，且BC=6cm，點M是線段AB的中點，點N是線段BC的中點，則MN= cm.

【錯解】13.

【正解】7或13.

【學生自述】難以考慮周全.

【分析點評】幾何題有時會由于圖形的不同導致有兩解或者多解，對于不提供圖形的幾何題，自己作圖思考分析問題時應特別注意，要考慮全面，不同的圖形會導致不同的答案.對條件“直線AB上有一點C”，應考慮三種情形：點C在線段AB上、在線段AB的延長線上、在線段BA的延長線上，然后可畫出符合題意的兩張圖形：點C在線段AB上或點C在線段AB的延長線上.

易錯點六：幾何作圖——網格作圖平行、垂直

例6 在如圖3所示的方格紙中，按下列要求畫圖：畫以AB為一邊的正方形.

【錯解】不會網格畫圖.

【正解】如圖4所示.

【學生自述】借助直尺和三角板畫圖，不過不準確.

【分析點評】網格作圖的關鍵是尋找格點并用直尺連接.為表述方便，不妨設網格中的小正方形邊長為1，則已知線段AB是長為4、寬為1的長方形的對角線，因而作平行線也只需尋找同樣的長方形的對角線即可，而作垂線，則相當于把長為4、寬為1的長方形豎直放置，然后尋找相應的對角線即可.

本章是初中平面幾何的首章，同學們首次接觸幾何語言、幾何符號、幾何定理等，希望能在學習過程中善于歸納整理錯題，并從錯題中汲取教訓，融會貫通，以夯實幾何基礎，不斷地取得新的進步.

（作者單位：江蘇省無錫市東絳實驗學校）