淺談函數思想在數列中的應用

摘 要：在高中數學的學習過程當中，關于函數和幾何圖形的學習是非常重要的，而其中的函數思想是學習數學的一個基本的思想，也是相當重要的一種數學思想，無論是在平時的學習當中還是在高考當中，關于數列的習題占的比例還是比較大的，本文主要針對函數思想在數列中的應用進行了討論，所以學習函數思想在數列中的應用，不僅能提高我們的學習效率，也能鍛煉我們的解題思維。

關鍵詞：高中數學；函數思想；數列

一、 數學解題過程中應用函數思想的含義

高中數學是一門邏輯性強、涉及內容領域十分廣泛的學科，我們學生要想學透里面的知識點，不僅要掌握并熟練運用基礎知識點外，還要做到將所學知識點融會貫通，靈活運用。那關于函數思想的應用也是比較重要的，函數思想在解題過程中的應用會使問題變得相對簡單從而使問題得到解決。一般函數思想經常用到的函數性質是單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等。

函數其實就是指在一定的區間內，每個輸入的值都有一個唯一的輸出值與之對應，函數就是用來描述這種關系的一個表達方式。

所謂函數思想，其實就是通過函數來研究和解決問題的一種思考方式，是解決“數學型”問題中的一種思維策略。在解題中，善于挖掘題目中的相關條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。

二、 關于函數思想在數列中的應用

（一） 函數思想在數列性質研究方面的應用

數列是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數。數列當中的數之間的關系有時候也會用函數方程表示，所以用函數思想去處理數列問題也是十分重要的。如下面的例子所示：

例1 已知數列的通項公式為an=n2-10n+9，這個數列從第幾項起，各項的數值逐漸增大？從第幾項起各項的數值均為正？數列中是否存在數值與首項相同的項？

如果用函數思想解題的話，可以把數列的通項公式看成是函數y=x2-10x+9，那數列{an}中的所有項都在這個函數圖像上，函數開口向上，問題1就是找對稱軸，函數的對稱軸是x=5，所以當x=5時后面開始逐漸增大。第9項開始都是正數首相就是x=1，對稱的就是x=9，a1和a9一樣，都是1。

（二） 函數思想在等差數列中的應用

等差數列通項公式為an=a1+（n-1）*d=d*n+（a1-d），可以看作是一次函數形式，而其前n項和Sn=n*a1+n*（n-1）*（d/2）=（d/2）n2+（a1-d/2）*n，因此等差數列的前n項和的公式可以看成是過原點的二次函數，如果在相關的數列解題過程中，遇到此類問題，我們便可以利用這兩點使問題變得更加形象、直觀，從而縮短解題時間，提高解題效率。

其實可以把等比數列的前n項和看成是q的分段函數，分界線是q=1；所以由以上的公式可知等比數列的前n項和為指數函數模型。

例4 等比數列{an}的前n項和為Sn=3n+a則a的值是？

分析：由等比數列前n項和形式：Sn=A-Aqn可將Sn=3n+a=1×3n-（-a）所以-a=1，即a=-1。

由例題可以看出，q不等于1，所以數列{an}是以3位公比的等比數列，其前n項和公式可以看成是指數函數的模型。

三、 總結

綜上所述，函數思想的發掘和應用是高中數學學習的一大重點，在高等數學和現實生活中都有著很廣泛的應用。因此在學習數學的解題過程中，一定要對題目進行仔細的分析，善于動腦，善于分析，利用函數思想去解題，讓題目簡化，提高我們的解題效率，從而提高我們的數學成績。

參考文獻：

[1] 韓云霞，馬旭.淺談函數思想在高中數學解題中的應用[J].寧夏師范學院學報，2016（3）：92-95.

作者簡介：薛涵月，山東省棗莊市，薛城區棗莊市第八中學北校高三、8班。endprint