高中數學解三角形常用策略之研究

邢敦菊

【摘要】解三角形是蘇教版高中數學教材必修五的內容，這一章節是高考數學的必考點，也是基礎的數學知識，這一部分內容通常會作為較易題來考查，也是學生容易出錯的知識點.解三角形有固定的解題策略和解題思路，本人結合多年的教學經驗，總結出以下幾點的解題策略，僅供參考.

【關鍵詞】高中數學；解三角形；解題策略

解三角形是在學習了三角函數、平行向量的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的研究，發現并掌握三角形邊與角之間關系，并運用他們解決一些實際問題的知識.解三角形通常離不開正弦定理和余弦定理的運用，這一點也是這一章的課標要求.而因題制宜地運用這兩個定理，就需要以下幾種解題策略的支撐.

一、轉化與劃歸

所謂的轉化與劃歸思想，就是通過對原題目的觀察與分析，根據做題經驗將原題目轉化為新題目，通過對新題目的求解，達到對原題目求解的目的.這一思想不僅是解答數學題時常用的策略，也是一種重要的教學思想和解決問題的方法.在數學中，常見的轉化與劃歸思想就是“切劃弦”“抽象化具體”“角化邊”“邊化角”.以下題為例：

在△ABC中，已知b=2，c=1，B=45°，則a等于（ ）.

A.6-22

B.6+22

C.2+12

D.3-2

解析 由正弦定理，得sinC=csinBb=sin45°×12=12，又b>c，∴C=30°，從而A=180°-（B+C）=105°，∴a=bsinAsinB，得a=6+22.

答案 B.

這道題就是通過運用正弦定理，將解三角形問題轉化為熟悉的三角函數，再進行求解，降低了題目的難度，也加快了解題速度，為后面較難的題目節省足夠的時間[1].

二、函數與方程思想

從專業的角度來說，函數與方程是兩個不同的思想，只是這兩類思想通常會結合起來運用.所謂函數，就是通過觀察各個變量，建立彼此之間的關系，從而建立函數關系，構造函數圖像.函數思想是挖掘題目的本質，將題目“抽筋扒皮”恢復到最原始的狀態，這樣就為解題提供了很大的便利.所謂方程思想，和函數類似，通過分析變量間的關系，建立方程或方程組.函數思想與方程思想是合二為一密不可分的，也是可以相互轉化的，這一思想是高中數學最重要也是最基本的思想[2].

以下題為例：△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊.如果a，b，c成等差數列，∠B=30°，△ABC的面積為23，那么b為多少？這道題就是運用數學語言將數學條件轉化為方程.函數與方程思想也是考試中心發布的考試大綱中提及的高考常用幾大數學思想之一，其重要性可見一斑[3].

三、數形結合思想

數形結合思想是數學中最常用的思想，只要涉及抽象思維的題，基本都離不開這一思想的運用.所謂數形結合，就是根據數與形之間的關系，將數與形相互轉化，從而更直觀地觀察出各個條件之間的關系，建立聯系.數形結合最重要的作用就是輔助做題，以數輔形，以形解題，將復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化.同樣以下題為例：在△ABC中，已知B=2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積為4∶3的兩部分，則cosA等于多少？這道題不畫圖單憑想象，解出來是很費時間的，但是如果以圖形輔助做題，難度就大為降低了：畫出一個三角形，標上邊和角，由A與B的度數之比，得出AC大于BC，利用角平分線定理根據角平分線CD將三角形分成的面積之比為4∶3，得到BC與AC之比，再利用正弦定理得出sinA與sinB之比，將B=2A代入并利用二倍角的正弦函數公式化簡，即可求出cosA的值.其實在任何題目中，都可嘗試用數形結合的方法解題，即便有的題目不適用于數形結合，相信這種方法也會讓思路柳暗花明.

四、分類討論思想

由于有的題目給出的條件不具有普適性，所以通常情況下我們會根據題目要求將數據分類，匹配不同的條件，讓題目中冗雜的條件簡潔化，一來讓題目更具有直觀性，二來避免出現錯誤.數學中最簡單的分類討論思想就是，比如，當x>1時，F（x）=A，當x≤1時，F（x）=B.分類討論時要注意細節，掌握分類討論的原則和方法，做到不遺漏、不重復.在解三角形中，分類討論思想不是常用的策略，但卻是大綱中強調的一種思想，因此，我們應該給予足夠的重視，在平時的聯系中注重這種方法的應用.舉個例子，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ac=3，三角形ABC的面積為334.（1）求B；（2）若b=2，求△ABC的周長.解：（1）因為S△ABC=12acsinB，所以12×3sinB=334，即sinB=32.又因為0

五、整體思想

整體思想一般有整體代入和整體求值兩種方法，都是數學中常用的思想，當由已知的條件無法求出數據的值時或者求法比較煩瑣時，常用整體代入的思想求出整體的值.而整體求值思想常用于解三角形題目中，求三角形面積時，通常會結合正弦定理或余弦定理求出各個邊長及各個角度的正弦余弦值.

例如，已知1a-1b=4，則a-2ab-b2a-2b+7ab的值等于多少？根據條件顯然無法計算a，b的值，只能考慮在所求代數式中構造出1a-1b的形式，再整體代入求解.

總之，解三角形是高考數學中基礎又不容易拉開差距的一部分，但同時又是高考中占比較大的一部分，同學們萬萬不能在這一章節上面失分，值得同學們引起重視.解三角形在高考中處于較易題的程度，要想拿滿分需要掌握固定的“套路”，畢竟“自古套路得人心”，相信同學們掌握了上述幾種解題策略，并在平時的訓練中多加練習，相信同學們在解三角形時就會得心應手了.

【參考文獻】

[1]唐瑞芬，朱成杰.數學教學理論選講[M].上海：華東師范大學出版社，2001.

[2]李玉琪.中學數學教學與實踐研究[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.