對直線與圓方程問題的探析

張偉鋒

【摘要】本文對直線與動圓的位置關系、用直線與圓的方程解決幾何問題、利用直線與圓的方程解決實際問題這三類情況進行討論.以期對直線與圓的方程教學有所參考.

【關鍵詞】高中數學；直線與圓方程；解題探索

直線與圓的方程是高中數學學習的重要內容，由于直線與圓的方程包含內容比較多，題目的類型非常靈活.筆者結合教學實踐，對直線與動圓位置關系、用直線與圓方程解決幾何問題、利用直線與圓方程解決實際問題這三類情況進行討論.

一、直線與動圓位置關系的參數問題

判斷直線與圓的位置關系是解決許多問題的基礎，其常用判斷方法有兩種：一是求出圓心到直線的距離再與半徑比較；二是把直線方程代入到圓的方程中，得到一元二次方程，再根據判別式來判斷.在討論直線與動圓的位置關系時需要靈活運用這些條件來判斷.

例1 已知圓的方程如下：x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.

（1）求證：無論m取什么值，該圓的圓心都在同一條直線L上.

（2）和L平行的直線中有哪些直線和該圓相離、相切、相交？

（3）證明：任意一條和L平行并且和圓相交的直線被圓截得的弦長是相等的.

解析 （1）對圓的方程進行配方，寫成標準形式（x-3m）2+[y-（m-1）]2=25（m∈R）.設動圓的圓心是（x，y），所以x=3m，y=m-1， 消除m后可得直線L方程是：L：x-3y-3=0，圓心在此直線L上，因為直線L方程與m無關，所以無論m取什么值圓心都在直線L上.

（2）假如和直線L平行的直線方程是：L1：x-3y+b=0，則圓心到直線L1的距離是：d=|3m-3（m-1）+b|10=|3+b|10，∵圓的半徑r=5，∴當dr時，即b>510-3時，直線與圓相離.

（3）∵L1：x-3y+b=0與直線L平行，并且圓心到L1的距離是d=|3+b|10，∴弦長=r2-d2=225-（3+b）210，由此看出弦長與m無關，本題得到證明.

點評 解決直線與動圓的位置關系既可用代數法，又可用幾何法，但幾何法比代數法運算量小，而且也比較形象直觀，因此，解答此類題目常用幾何法.

二、利用直線與圓方程解決幾何問題

利用直線與圓的方程可以方便、快速解決平面幾何中的一些問題，從而使平面幾何題的證明又增添了一種新的方法和手段.

圖1

例2 如圖1所示，在一個圓O上任意取一點C，再以此點為圓心作圓C，并且讓圓C和圓O的直徑AB在D點相切，兩個圓相交于E，F兩點，已知EF與CD相交于P點.求證：線段EF平分CD.

解析 本題用數形結合的方法可容易證明.

以圓O直徑AB所在直線建立x軸，以圓O圓心為坐標原點O建立坐標系.假設（AB）=2r（r>0），D點坐標是（a，0）（0

點評 利用直線與圓的方程來解決平面幾何問題，其解題思路是數形結合的思想的運用.“以數輔形”和“以形助數”是解題的常用方程，通過兩者的結合就能快速找到解題的思路與方法.

三、利用直線與圓方程解決實際問題

利用直線與圓方程解決生活中的實際問題，每年都會在高考大題中出現，對此應高度重視.在學習直線與圓的方程這部分內容時，應特別重視其在解答實際問題中的靈活應用.

例3 在某風景區內有P，Q兩個景點，它們在一條公路的同側，兩景點分別距離公路是2 km，22 km，且P，Q兩點之間距離是2 km.如果要在公路上建立一個觀景點，使P，Q兩個景點在進入人的視線時有最好的拍攝與觀賞效果，問這個景觀點應位于何處？

圖2

解析 要想使P，Q兩個景點有最佳的觀賞效果，就要使觀景點對P，Q有最大的角度，根據平面幾何知識可得出，景觀點是過P，Q這兩點的圓與公路所在直線的切點.可利用直線與圓的方程來解決.假設以公路所在直線建立x軸，過B點建立y軸來建立直角坐標系.從圖中知兩點坐標是：P（2，2），Q（0，22），假設圓方程是（x-a）2+（y-b）2=b2，因為P，Q兩點在圓上，把兩點坐標代入圓的方程中得（2-a）2+（2+b）2=b2，a2+（22-b）2=b2， 解方程可求出a=0，b=2 或a=42，b=52， 根據實際情況可知a=0，b=2 符合題意要求，所以圓的方程是：x2+（y-2）2=2，從圖中可看出圓的切點是坐標原點O，即景觀的設置點為O.

點評 解決實際問題時，應先建立數學模型，再結合平面幾何知識來分析曲線的形狀，然后求出曲線的軌跡方程，就能使問題解決.

總之，直線與圓方程應用范圍非常廣泛，因此，在求解直線與圓的方程問題時，應遵循“一建二算三譯”的解題思路.即建立恰當的坐標系；再通過代數運算，來解決代數問題；最后把代數運算結果“翻譯”成幾何結論，就能把問題解決.