淺談高等數學中兩個重要極限公式的教學策略

司國星 閆麗娜

【摘要】兩個重要極限公式是高等數學教學中的重點內容，在對這兩個重要極限公式進行教學時，教師往往是先對這兩個重要極限公式的兩個準則進行教學，然后才能對這兩個重要極限公式進行證明.這種教學方法不僅需要花費大量的時間，而且推導性內容較多，使學生在學習過程中難以對這些推導過程進行深刻理解，從而影響了教學效果.針對這種情況，本文通過在兩個重要極限公式教學中應用MATLAB教學軟件，并充分引入數學實驗，利用探索法來對這兩個重要極限公式的教學策略進行深入淺出的探討.

【關鍵詞】高等數學；極限公式；教學策略

高等數學是本科院校中一門非常重要的學科，而在高等數學教學過程中，關于兩個重要極限公式的教學一直都是重點和難點內容，由于在對這兩個重要極限公式進行證明和推導過程中，推導過程復雜，并且非常抽象，再加上對這兩個重要極限公式的教學課時相對較少，學生沒有較多的時間去推導公式，從而給學生在學習高等數學中帶來了較大的難度，影響了學生的學習效果.而隨著計算機技術的不斷發展，MATLAB數學軟件得到了廣泛的應用.本文通過應用MATLAB數學軟件進行教學，并引入數學實驗，利用探索法來對這兩個重要極限公式進行講解，以此取得良好的教學效果.

一、第一重要極限公式的教學策略

（一）第一重要極限公式 limx→0sinxx=1左極限的教學探索

第一重要極限公式即 limx→0sinxx=1，本科院校在對第一重要極限公式進行教學時，都會對夾逼定理進行優先講解，然后才會利用推導公式對定理進行推導和證明.但是，由于推導過程中需要較多的推導過程，推導起來也較為復雜，而教師對推導的講解也非常抽象，這就使學生難以理解推導過程，從而加大了學生的難度.通常情況下，教師在對這一重要極限公式進行講解時，都是先給出公式，然后利用多舉例的辦法使學生能夠熟悉公式，但這種教學方式需要占用的課時較多，并且學生理解起來也比較困難.而通過引入教學實驗，并借助MATLAB數學軟件，采用探索法來對第一重要極限公式進行探索.下面就對該重要極限公式的探索方法進行講解.首先，需要先打開MATLAB數學軟件，并對MATLAB設置程序，在程序中分別定義極限函數、探索左極限，并用矩陣來對函數的對應值進行表示，通過對MATLAB數學軟件設置后的程序進行運行得出結果.在結果中x的取值非常重要，通過對x取值的修改能夠非常方便的探索出函數的極限.通過對結果進行分析，我們發現在結果中x的取值都位于軟件的第一排，而第二排則代表著sinxx的取值，并通過進一步研究，發現當x的取值越往左側進行排列，其取值數就越接近于0，而函數f（x）=sinxx的取值也就越接近1.此時，我們再次對MATLAB數學軟件的程序進行修改，并設置探索左極限，通過對MATLAB數學軟件的程序進行運行和推導可以得到推導過程，此時，在軟件推導公式的第一排，顯示的是x的取值，而第二排則代表sinxx的取值.通過對推導過程進行分析可以了解到，當x的取值為-0.03時，sinxx的取值最終為0.999 9，這個函數值基本非常接近1了，如果再繼續進行推導，后面還會出現0.999 99，0.999 999，…，并越來越接近1.因此，通過對上述推導內容的分析，我們根據極限描述性定義可以求得 limx→0sinxx=1.

（二）第一重要極限公式 limx→0sinxx=1右極限的教學探索

第一重要極限公式 limx→0sinxx=1右極限的探索方法基本與左極限相同，通過在MATLAB數學軟件中對x的取值進行修改，輸入探索右極限命令，并對MATLAB程序進行運行，來求得推導過程.推導過程中第一排顯示的是x的取值，而第二排則是sinxx的取值，通過對推導過程進行探索和分析可以知道，當x的取值為0.03時，sinxx的取值為0999 9，并且非常接近1，而如果再對程序進行運行，其數值也將越來越接近1.由此依據極限描述定義可以求得 limx→0sinxx=1.當然，利用作圖的方式也能對第一重要極限公式 limx→0sinxx=1的極限進行探索和驗證，通過在MATLAB數學軟件中輸入相應程序，并對程序運行就能得出相應的圖像，從圖像中就可以找出 limx→0sinxx=1，而如果通過對程序進行修改，并使其區間加大，圖像顯示的效果也會更強.總而言之，通過充分利用MATLAB數學軟件來進行教學，將極大縮減教學時間，并有效避免了復雜的推導過程，使學生的積極性得到了顯著提高.

二、第二重要極限公式的教學策略

（一）探索法求得第二重要極限公式的探索極限

第二重要極限公式即 limx→∞1+1xx=e，第二重要極限公式也是高等數學中的教學難點，通常情況下，教師在對第二重要極限公式進行教學時，會先給出定理，該定理為單調有界數列必有極限.如果是對本科理工類學生進行教學時，教師一般情況下不會對定理進行證明，而只有是對數學專業的學生進行教學時，才會對定理進行證明，當定理給出以后，教師需要對實數公理進行增加，并對公式進行證明，對第二重要極限公式的證明主要分為四個層次，第一層次是對數列1+1n 單調增加的證明；第二層次是對1+1nn 有界數列的證明；第三層次是利用夾逼定理來對該極限公式進行推廣，以使其達到正實數；第四層次是采用換元法來對該極限公式進行推廣，使其達到負實數.哪怕經過這四個層次的推導證明，也不能對該極限公式的真正極限進行求出.而由于本科院校的高等數學教學課時有限，因此，使學生的數學基礎難以得到提高.而利用MATLAB數學軟件能夠非常高效的找出該極限公式的探索極限，通過在MATLAB數學軟件中輸入程序，以此來定義極限函數，并運行MATLAB程序，可以求得一組數據.在所求得的數據中，第一排數據代表著x的取值，而第二排則代表著1+1xx的取值，通過對數據進行分析，能夠發現當x的取值越大，函數1+1xx的取值也就越接近2.718.我們能對x的取值進行調整，并設置探索極限程序，程序運行可得到一組數據，該組數據中的第一排代表著x的取值，而第二排數據則代表1+1xx的取值，同樣可以發現，隨著x取值的不斷增大，函數1+1xx的值也越來越接近2.718 1.

（二）作圖法求得第二重要極限公式的探索極限

除了應用探索法來驗證第二重要極限公式的探索極限，還可以采用作圖法來對其探索極限進行驗證.通過在MATLAB數學軟件中輸入相應程序，并對程序進行運行，可以求得第二重要極限公式的圖像，當圖像出現后再對程序進行修改，并運行程序能夠得到全新的圖像，從這兩個圖像中可以了解到 limx→∞1+1xx=e.通過作圖法的方式來證明第二重要極限公式的探索極限不僅能夠使證明結果變得更加直觀，也能縮減那些不必要的推導公式，從而極大減少了第二重要極限公式的推導時間，使教學任務的完成變得更加高效，通過這種做法，不僅能夠有效培養學生發現問題的能力，也給學生在解決這類問題時提供了科學有效的方法.通過在高等數學教學中引入MATLAB數學軟件，不僅能夠有效解決課時較少的問題，也使數學難點的教學變得更加簡易.

三、結 語

總而言之，通過在高等數學中充分應用MATLAB數學軟件來對第一和第二重要極限公式進行推導，不僅能夠使推導過程變得更加簡便，還能有效節約課程時間，使學生通過MATLAB數學軟件就能進行自主學習，從而加深了學生對這兩個重要極限公式的理解，提升了學生的學習效率，使學生的數學基礎能力得到了極大的強化.當前，本科院校在MATLAB數學軟件中的應用相對較少，更沒有引入數學實驗.針對這種情況，學校應加強信息技術的使用，并在高等數學中引入數學軟件，使師生能夠通過數學軟件的使用來共同發現和解決問題，以此高效地完成教學任務.

【參考文獻】

[1]王孝成.高等數學中兩個極限公式的教學[J].南京人口管理干部學院學報，2002（2）：53-55.

[2]殷紅燕.兩個重要極限公式求特定類型的極限的方法[J].高等函授學報（自然科學版），2012（6）：24-25.

[3]姜洪文.對重要極限公式 limx→∞1+1xx=e的推廣[J].沈陽師范大學學報（自然科學版），2003（2）：91-94.endprint