淺談擬共形映射的極值問題

孫陽軒

【摘要】擬共形映射也被稱為擬保角映射，是一門涉及函數(shù)、極值、數(shù)集等多項數(shù)學內(nèi)容的科學，最初被作為復分析的一種手段，隨著應(yīng)用越發(fā)廣泛以及本身技術(shù)的進步，漸漸發(fā)展為一種獨立學科，尤其在橢圓形偏微分方程中，擬共形映射的地位十分重要，該理論同樣也適用于有理函數(shù)迭代、彈性、調(diào)和分析等領(lǐng)域，探討擬共形映射的極值問題，對其未來應(yīng)用有一定的積極意義.

【關(guān)鍵詞】擬共形映射；極值

擬共形映射理論在黎曼曲面的研究中成果顯著，包括黎曼曲面的單值化問題、模問題等均在擬共形映射理論的指導下獲得迅速進展，泰希米勒空間、有理函數(shù)的迭代以及克萊因群等也可以應(yīng)用該理論.簡言之，擬共形映射是在區(qū)域內(nèi)將圓映成橢圓映射，只要橢圓的長軸與短軸之比小于或者等于K，K-既是此映射的擬共形映射，其極值則是該范圍內(nèi)的最大值或者最小值.

一、擬共形映射的基本定義和引理

（一）擬共形映射的基本定義

擬共形映射原本作為復分析的組成部分，隨著科學發(fā)展，現(xiàn)被定為一個獨立的科學學科，其基本定義為：

在滿足K>0條件的情況下，設(shè)D，D′為固定區(qū)域內(nèi)平面上的開子集，區(qū)域內(nèi)的連續(xù)可微函數(shù)在此時保持定向，區(qū)域內(nèi)每個點的導數(shù)f′將目標圓映為橢圓，該橢圓滿足離心率不大于K，此時f即為K-的擬共形映射，如果K使f為擬共形映射，f即為擬共形映射.

（二）擬共形映射的引理

在區(qū)域內(nèi)選定目標圓，設(shè)f：D→D′是K-擬共形映射，B是D內(nèi)的某雙連通率，則M（B）K≤M[f（b）]≤KM（B）.

同樣，依然在與域內(nèi)選定目標圓，加入B與B1是兩個不同的雙連通域，B1小于B且在B內(nèi)，則可知mod（B1）≤mod（B）.

該引理便于對S（K）族進行研究，了解不變性和單調(diào)性并進一步探討擬共形映射條件下目標范圍內(nèi)點的隱蔽性以及相關(guān)極值的性質(zhì).

二、掩蓋定理

掩蓋定理是被廣泛研究的定理之一，無論目標圓的選取有何種不同，其原理是不變的，在S（z0，K）族內(nèi)，可以對掩蓋定理進行進一步的探討.

假設(shè)w=f（z），G=f（D）為橢圓區(qū)域的突出部分，可知d（w0，G）≥（1-|z0|）1K2.并假設(shè)f（z0）=w0.

將W0平移至坐標原點，由于G=f（D）是橢圓的突出部分，通過改變G實現(xiàn)G與實軸正半軸焦點的變化，該改變在區(qū)間min[d（w0，G）]之間，當G點處于G′={w[Rew

在實際的操作中，將相關(guān)數(shù)據(jù)帶入上述計算式，可以進行快速的計算，由于目標圓的圓心是固定的，G點的變化重在映射區(qū)間內(nèi)，因此，只需考慮z0的相關(guān)變化，并確定K的數(shù)值，這即是單葉函數(shù)S族的12-掩蓋定理.

三、極值定理

通過對S（K）族的掩蓋定理以及引理的相關(guān)討論，可以分析出極值定理，鑒于不同計算環(huán)境和目標的差異，本文將討論的核心放在S（z0，K）族極值定理的分析上.

首先設(shè)w=f（z）為S（z0，K）族，同時設(shè)f（z0）=w0，并選定目標范圍內(nèi)的某個固定點C代入，加入f（z）-f（z0）（|z|<1），選取目標圓內(nèi)某個固定點R，

并確定R≤|C|4|C|-（1-|z0|）1k（1-|z0|）1K（4|C|）+1）.

在該計算式下，設(shè)C大于0，對于所有數(shù)據(jù)和變量均需充分考慮，如果沒有計算必要，則不考慮C的正負，只以選定點為核心進行旋轉(zhuǎn)即可，根據(jù)前文中的引理，可以得出modBN≤K modf（BN）.

同時，由于R≤|C|4|C|-（1-|z0|）1k（1-|z0|）1K（4|C|）+1）計算時存在的一定的變化性，即R的選取可以是完全隨機的，而且在具體計算中也不可能一成不變，因此，得出計算式R≤|C|4|C|-14|C|+1，通過函數(shù)符合，得到單葉函數(shù)下，極值的最終區(qū)間為：

Ξ=|z|1K（|z|≤1）.

四、極值計算

在上述極限原理中，考慮的是目標點的選取以及不同情況下的變化，但在實際計算中，還需滿足一定條件才能進行計算工作.

比如，在基本的要素胚解f，也稱為K-擬共形映射，K值的確定就成為計算的重點，計算中，未知方程式往往有一個同胚解g，而且在通常情況下，F(xiàn)和g是相等的，考爾德倫-贊格蒙理論是最初滿足該條件的極值揭發(fā).同時，如果選定區(qū)域內(nèi)的某點p為目標函數(shù)，為確保其可測，也要應(yīng)用擬共形映射原理，并確保у∈p是成立的.

假設(shè)f依然是區(qū)域內(nèi)的正向映射，K-是其擬共形映射，f（z）是把|z|<1映成|w|<1（（0）=0）的K-擬共形映射，按照黎曼方程的算法，f（z）可以在范圍內(nèi)進行規(guī)律夸張，只要始終保持|z|≤1為|w|≤1的同胚映射，極值的大小就是規(guī)律變化、容易捕捉的.

在部分計算條件下，擬共形映射的極值計算還存在著一定的近似性，這種情況不需要公式和數(shù)據(jù)的極度精確，計算難度也小得多，不過所用的原理和規(guī)律是相同的，比如，拓撲條件下的映射族，無論f怎樣變化，極值是必然存在的，將橢圓的突出部分近似為黎曼曲面，只要所選的函數(shù)不變，極值的映射就可以在近似理想的環(huán)境中求得.這種方式在現(xiàn)代擬共形映射應(yīng)用和極值求取中十分常見，尤其是一些難以進行緊密計算的領(lǐng)域或者部分對數(shù)值精確度要求不高的情況.由于極值通常在一個區(qū)間內(nèi)，因此，近似極限結(jié)果通常能夠滿足所用，比如，安置于高處的太陽能接收設(shè)備，假如設(shè)備外觀為圓形，隨著太陽角度的改變，設(shè)備的影像會呈現(xiàn)橢圓形，即可以看作是擬共形映射的近似情況進行計算.

五、總 結(jié)

擬共形映射作為一個獨立的科學學科，在有理函數(shù)迭代、彈性、調(diào)和分析等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其突出特色是只要映射條件不變，任意目標點函數(shù)的計算都可以遵循固定的原理進行.在實際生活中，也會運用到近似的極值算法進行一些計算工作，探討其具體內(nèi)容，有助于相關(guān)工作的開展.

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