矩陣概念的教學設計

劉玉霞+聞杰

【摘要】本文給出矩陣概念的一種教學設計，以問題為引導，從應用的角度列舉實例，讓學生體會矩陣應用的廣泛性.在教學過程中，不斷設置疑問，穿插介紹史學知識，步步引導學生進行思考，講解趣味實例以調動學生的學習積極性和主動性.

【關鍵詞】矩陣；概念；教學設計

要上好一堂課，教師要做到兩層：一層聽懂，講的知識要深入淺出，讓學生容易聽懂；二層是有意思，講的內容要吸引學生，讓學生感興趣.學生在感興趣的前提下才會認真聽課，自然大部分會聽懂，若不感興趣，有某處聽不懂也就很難再繼續聽下去，繼續后續學習，所以興趣是影響學習的一個很重要的因素.而高等數學一直以來就備受指責是一門枯燥無味的學科，對于教師，在講課時做到上述兩層才能改變現狀，其中關鍵是要做到吸引學生.那么，怎樣上好一堂課才能吸引學生，讓學生感興趣呢？比起上數學課，學生可能更愿意看視頻、聽故事，但不是所有的學習內容都能統一運用這樣的教學方法，教師應針對不同的教學內容設計相應的教學方法吸引學生參與到教學過程中來.

本節課內容是介紹矩陣的概念，由于概念本身簡單再加上此概念在中學階段學生已經有所接觸，所以對學生來說這部分內容相對比較簡單，如果按部就班地講解則顯得枯燥，而我們可以從應用的角度出發來引導學生，讓學生感受矩陣與我們的生活到底有什么關系，其中不乏矩陣的發展史的穿插介紹，不斷設問，創設趣例，遺留思考，步步抓住學生的神經，吸引學生不斷探索，將原本單調的內容通過設計問題、講故事等教學方式，并與實際結合，舉例貼近生活，一堂課就會變得有滋有味，一個簡單的概念也就不只是停留在紙上的兩個字，而是有血有肉的具有生動立體感的事物.

一、矩陣概念的引入

（一）設計問題

新聞：2013年12月下旬，教育部、國家統計局、財政部發布2003年至2012年全國教育經費執行統計報告，數據顯示歷年來教育經費一直持續上漲，從2003年的3 850.62億元，2004年的4 465.86億元，2005年5 161.08億元……一直漲到2012年的22 236.23億元，占GDP的比例也大致呈上漲趨勢，從2003年的2.84%，2004年的2.79%，2005年的2.81%，2006年的2.93%……一直到2012年的4.28%.另外公告還顯示……

問題：如何表達出有效信息使得這一長段的新聞一目了然？

討論：顯然，抓住年份、經費、占GDP比例這三組數據制作出如下表格就會使得新聞簡潔明了.

20033 850.622.84

20044 465.862.79

20055 161.082.81

20066 348.362.93

20078 280.213.12

200810 449.633.33

200912 231.093.59

201014 670.073.65

201118 586.703.93

201222 236.234.28

實例：某航空公司在A，B，C，D四個城市之間開辟了若干航線，如圖所示為四個城市之間的航班圖，如果從A到B有航班，就用帶箭頭的線連A指向B.

問題：如果城市更多，航班更多，該如何表示呢？

討論：線段圖比起文字說明也比較簡明，但城市變多，航班變多時，線段箭頭就會增多而混亂，表達就復雜了，但是如果用下面的數據表格表達，用數字1表示城市間有航班，0表示沒有，情況再復雜也能一目了然.

0110

1010

1001

0100

說明：這樣用數據表格來表情達意在生活中隨處可見，不妨引導學生自己舉例，比如，一單位的某種賬目，不同產品的兩年收益情況，這樣用數據表格來表達主要信息，使問題簡單化明了化，讓學生感受學習這種方法的必要性，而不僅僅只是停留在自己以往簡單的認識上面.

（二）矩陣的概念

有了上述的用數字表格來處理實際問題的認識，欲將這一方法用嚴謹的數學知識來體系化，就很自然地提出了矩陣的概念，再加上前面學習過行列式的知識，學生很容易接受矩陣的概念，作為教師，只需初步地提醒兩個概念的異同，并給學生介紹一些特殊矩陣.

二、矩陣概念的發展及應用舉例

由數字表格提煉出矩陣的概念，再介紹一下矩陣的歷史來源和在不同領域的發展，特別是與專業相關方面的應用，比如，與我們學生專業有關的遙感圖像的柵格表示、水流方向矩陣表示等，既可以讓學生掌握知識，拓展知識應用，還可以激起學生的學習興趣，為專業課學習打好基礎.此外，再舉2個實例.

（一）價格矩陣

例1 四種食品在三家商店中，單位量的售價分別是17，7，11，21；15，9，13，19；18，8，15，19，可以用下面矩陣表達出每種食品在各個商店的售價情況：

1771121

1591319

1881519 .

不同的學生還給出另一種表達：

171518

798

111315

211919 .

（二）贏得矩陣

例2 我國古代有“齊王賽馬”的故事，戰國時代齊王和大將田忌約定用上、中、下三個等級各一匹馬進行三次比賽，贏者得輸者的千金，同一個等級的馬，齊王可穩操勝券，但田忌的上、中等馬可贏齊王的中、下等馬.根據不同的出場順序，有六種比賽策略：上中下、中上下、下中上、上下中、中下上、下上中，田忌根據齊王的馬選擇合適的策略還是可以有贏得齊王的機會的，據他們不同的策略選擇，可得到齊王的贏得情況用矩陣表達如下：

31111-1

131-111

1-13111

11-1311

-111131

1111-13 .

用實例和趣味故事展現出矩陣的應用可以讓學生感受數學不僅來源于生活，還服務于生活，用提問的方式為后續學習矩陣的運算留下伏筆.提出問題1：例1中用兩個矩陣表達一個問題，兩個矩陣之間有什么關系呢？問題2：例2中你能寫出田忌的贏得矩陣嗎？與齊王的贏得矩陣什么關系？帶著問題學生可自主學習下節內容.

三、小 結

1.理解矩陣的概念的實質——數表，生活中到處可見其應用，比如，賬目、收益，鼓勵學生多舉例，并學會運用數學的眼光看待事物.

2.鼓勵學生自己總結矩陣與行列式的異同點，進一步認識矩陣概念.

四、趣味思考題

甲、乙兩人玩“石頭、剪刀、布”游戲，試問甲的贏得矩陣是什么矩陣？

分析：仿照齊王賽馬的贏得矩陣，用大家熟悉的游戲給學生留下問題，既能激發學生的學習興趣，又能為后續的學習留下鋪墊.

提示：不妨設甲、乙兩人只玩兩次，寫出策略.

【參考文獻】

[1]同濟大學應用數學系.線性代數：第4版[M].北京：高等教育出版社，2003：29-32.

[2]莫里斯·克萊因.古今數學思想（三）[M].偉勛，石生明，孫樹本，等譯.上海：上海科學技術出版社，2002：207-217.endprint