談談線性方程組與向量

王翠麗

摘要：在高中階段的學習中，學習了向量等概念，這是線性代數(shù)中的一個基本概念。其實，向量與矩陣、行列式、線性方程組等都有密切的關系。本文主要闡述向量與線性方程組的關系。

關鍵詞：高中數(shù)學；線性方程；向量

今天，我們先從最簡單的線性方程組談起。

對于單個方程的情形，如方程x-y=1，從幾何上看，它是一條直線。如果要談到這個方程的解，則它的解可以認為是無限多個，這是由于任何形如（k，k-1）（k是實數(shù)）的數(shù)對都是它的解。

這個方程組由于兩條直線相互平行，沒有交線，所以無解。

這樣，從這幾個簡單的例子可以看出，線性方程組可以分成無解、有唯一解和多解的情形。那么我們研究線性方程組，就是要判斷它是有解還是無解，如果有解，是唯一解還是很多解，并要將這個解求出來。這個問題看起來好像很復雜，但是線性代數(shù)的威力就是將這樣看似復雜的問題變得簡單。

還有一種情形值得我們注意。看下面的方程組

顯然，這個方程組有解（1，1），并且也是唯一的。

這個方程組解在存在性唯一性沒有問題，但是，這三個方程當中，我們只需要其中的任意兩個方程，就可以求出解來。也就是說，有一個方程是多余的。事實上，我們?nèi)菀卓闯觯谝粋€方程乘2加上第二個方程乘-1，整理后就得到第三個方程。同樣，我們也可以用第二和第三個方程得到第一個方程。這樣，我們可以認為，這三個方程中，只有兩個是真正有效的。

一個方程組中，有多少個方程是真正有效的？怎樣從中選出有效的方程？這也是我們要面對的重要問題。

下面我們以有兩個未知數(shù)的方程組為例，講了方程組可以有無解、唯一解和多解等各種情況，以及方程組的有效方程的個數(shù)。我們不難將其推廣到多個未知數(shù)的情形。

以三個未知數(shù)為例。

這個方程組有唯一解（1，1，1）。從幾何意義上看，方程組中的每個方程代表一個三維空間中的平面，三個平面就有三條交線，那個這個方程組有唯一解就意味著這三條交線交于一點。于是，我們不難想象，這樣形式的方程組依然存在無解和有很多解的情形。例如，如果這三條交線互相平行（這時三個平面相交的部分形成了一個三棱柱），則方程組無解。而如果這三個平面交于一條直線，或者干脆這三個平面重合了，那么方程組就將有無窮多解。

對于未知數(shù)多于4個的情形，由于我們看不到四維空間，我們只能憑我們的想象了。即使這樣，由于方程組個數(shù)的增加，以及未知數(shù)個數(shù)的增加，所造成的幾何方面的復雜性使得我們無法從空間上去理解方程組的幾何意義。怎樣更加有效地去研究線性方程組，并且對方程組解的性質(zhì)有一個深入透徹的理解呢？

向量是解決這個問題的有效武器。我們在解析幾何中學過向量，在物理中學過向量，但是向量在處理線性方程組方面發(fā)揮的作用卻是令人難以置信的。“向量”，從字面上看，就是有方向有大小的一個東西。我們在線性代數(shù)中接觸的向量，和物理中的向量略有不同。我們知道，一個力有三個要素：大小，方向，作用點。如果兩個力，這三個要素都是相等的，那么我們就認為這兩個力是相等的。但在本門課程中，向量只有兩個要素：大小和方向。兩個向量，只要這兩個要素相同，就認為是相等的。換句話說，向量中沒有平行這個概念（雖然

我們有時也稱作平行），只有重合（長度相等且方向相同）或者共線（長度不等或者方向不同）。這也是非常合理的。比如我們生活中說的“東”，就是一個方向。在不同的起點，都有“東”這個方向。當我們說“東”的時候，都是指同一個方向。

向量最基本的運算就是加法和減法，或者統(tǒng)一說是加法。這是由于α-β=α+β向量的加法，也就是將它們的各個分量分別相加。 眾所周知，向量的加法滿足平行四邊形法則。即把向量α和β看成平行四邊形的兩條邊，那么α+β所對應的向量就是這個平行四邊形的對角線所對應的向量。

實際應用中，我們不如記三角形法則更為方便。也就是說，把兩個向量α和β首尾相接，則連結α的始端和β的終端的向量就是二者的和。

三角形的法則，雖然和平行四邊形法則實質(zhì)上是一樣的，但是，三角形法則對多個向量的加法更加實用。事實上，我們只要把要求和的向量逐個首尾相接，則第一個向量的始端和最

后一個的終端連結起來的向量，就是這些向量的和所對應的向量。endprint