由一道高考題談平面向量問題的通性通法

曹東方??

摘要：為探討2017年江蘇高考理科數學第12題的多種解法，本文通過分析平面向量的本質，闡述了從數和形的角度來解決本例的幾何法和代數法，總結了平面向量問題的通性通法。

關鍵詞：平面向量；通性通法；幾何法；代數法

首先看一道高考題：

2017江蘇，理12.如圖，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°。若OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m+n=。

下面來看本題給出的標準解答：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根據向量的分解，

易得ncos45°+mcosα=2

nsin45°-msinα=0，即

22n+210m=2

22n-7210m=0，即5n+m=105n-7m=0。即得m=54，n=74，所以m+n=3。

對本題的再回顧本題考查的知識點是平面向量的表示。平面向量既有“數”的特征又有“形”的特征，是“數”與“形”的完美結合。因此，能否從“數”與“形”的角度來思考本題呢？也就是說，解決平面向量問題的通性通法是什么呢？如果理清了這個問題，那么所有有關平面向量的一類問題都可以尋找到一個突破口，進而得到解答。下面以這一道高考題為例，筆者談一談這個通性通法。

在數學解題中，經常會遇到一些常規的解題模式和常用的數學方法，我們稱之為通性通法。筆者認為包含兩個方面的含義：第一是從某一個知識出發引出的若干思考；其次是解決一類問題的一般思維出發點。理解通性通法的本質，其實就是吃透知識點的本質。題目僅僅是知識點的載體，就像我們說平面向量是數和形的載體一樣，平面向量的本質就是數和形。從數的角度看，解決平面向量的方法就是建立平面直角坐標系，用坐標表示有關向量，進而進行坐標運算，從而解決問題；從形的角度看，平面向量溝通了平面幾何，可以用解決平面幾何問題的方法解決它。

從形的角度看本題條件，OC=mOA+nOB（m，n∈R），這個條件可以理解為向量的加法，自然就可以考慮到平行四邊形法則，從而產生了該題的幾何法：

作平行四邊形OMCN，其中OM=mOA，ON=nOB

易得|OM|=|NC|=m，|ON|=n

∵OC=2，則在△OCN中，由正弦定理

2sin∠ONC=nsinα=msin45°

即2sinα+45°=nsinα=msin45°

又tanα=7，∴α為銳角

∴sinα=750，cosα=150

∴sinα+45°=45

可得m=54，n=74，∴m+n=3

從數的角度看本題條件，OC=mOA+nOB（m，n∈R），這個條件可以理解為向量的基底表示，而基底又產生了坐標，所以可以建立平面直角坐標系來表示OA，OB，OC的坐標，然后用坐標運算解決，這就是這道題目的代數法：以O為原點，以OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，易得

A（1，0），B（cos（α+45°），sin（α+45°）），C（2cosα，2sinα）

即B-35，45，C15，75

由OC=mOA+nOB

∴15，75=m1，0+n-35，45

∴m=54

n=74∴m+n=3

另外，考慮到本題條件有向量的模和夾角，所以還可以考慮用向量的數量積，得到另外的解法：

由OC=mOA+nOB，將該式兩邊同時乘OA和OB

得

OC·OA=mOA·OA+nOB·OA

OC·OB=mOA·OB+nOB·OB

∴2cosα=m+ncos（α+45°）

2cos45°=mcos（α+45°）+n

∴15=m-35n

1=-35m+n∴m=54

n=74∴m+n=3

由此可見，平面向量作為數和形的載體，處理這一類問題的通性通法無外乎幾何法（基底表示）和代數法（坐標法）。

參考文獻：

[1]黃耿躍.向量思想方法及其應用研究[D].福建師范大學，2008.

[2]曹金明.高中數學課程中向量教學研究[D].西北師范大學，2004.

作者簡介：

曹東方，福建省泉州市第七中學。endprint