歸納猜想與類比猜想

摘要：數學的發展離不開猜想，本文主要介紹猜想的兩種重要方法，歸納與類比。許多重要定理公式的發現，離不開歸納猜想與類比猜想。

關鍵詞：猜想；歸納；類比；歐拉公式

一、 什么是猜想

猜想是人們根據事物的某些現象對它的本質屬性、服從規律、發展趨勢或可能結果作出的一種預測性判斷。

猜想與數學有著密切的聯系，在數學的發展史中有著許許多多的猜想：哥德巴赫猜想、四色猜想、費馬猜想等。數學家們通過不斷地提出猜想、證明或否定猜想，推動著數學向前發展。

二、 歸納與類比常作為猜想的兩種手段

數學的猜想離不開一般的科學方法，如觀察與實驗、歸納與類比、分析與綜合。這里主要闡述歸納和類比這兩種主要手段。

（一） 歸納猜想

歸納：是指某類事物的部分對象具有某一屬性，而推出該類事物都具有這一屬性的推理方法，是從個別認識一般的推理方法。研究事物的個性中包含著共性，從個性可以認識該類事物的共性，歸納法的這一特點給它的應用提供了客觀依據，也使得歸納的結果具有某種可靠性。人們用歸納法整理經驗資料，并從中得出普遍規律和結論。很多著名定理公式的產生，都是由歸納猜想得出來的。

【例1】歐拉公式（F+V-E=2）

探究凸多面體面數F、棱數E與頂點數V之間的關系。易知，多面體由面、棱和頂點組成。那它們三者之間有什么關系呢？最簡單的，我們拿幾個熟悉的多面體來具體數一數，探究規律。

三棱錐：面數F=4，頂點數V=4，棱數E=6，F+V-E=2；

四棱錐：面數F=5，頂點數V=5，棱數E=8，F+V-E=2；

三棱柱：面數F=5，頂點數V=6，棱數E=9，F+V-E=2；

五棱錐：面數F=6，頂點數V=6，棱數E=10，F+V-E=2；

四棱柱：面數F=6，頂點數V=8，棱數E=12，F+V-E=2；

五棱柱：面數F=7，頂點數V=10，棱數E=15，F+V-E=2；

……

歸納猜想：F+V-E=2

證明：多面體去掉一個面，將之展開，可以得到一個平面圖，這個時候只有面數變了，少了一個面，棱數和頂點數是不變的，證明多面體的F+V-E=2，也即證明平面圖形的F+V-E=1。

（1）想象一個平面凸n邊形，進行三角形分割（即對于還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為三角形為止）；

（2）每引進一條對角線，F和E各增加1，而V不變，當完全分割成三角形的時候，F+V-E的值不變，此時有些三角形的一邊或兩邊在該平面圖形的邊界。

（3）如果某個三角形只有一邊是邊界，去掉一條棱E，相應的就會減少一個面F，所以F+V-E不變。

（4）如果三角形的兩邊都在邊界上，除去這兩條邊界，此時棱E減少2，面數F減少1，頂點數減少1，則F+E-V也不變。

（5）不斷進行（3）和（4）的操作，最后只剩一個三角形，三角形面數F=1，棱數E=3，頂點數V=3，所以F+E-V=1。

證畢，在任何一個規則球面地圖上，用 F記區域個數，V記頂點個數，E記邊界個數，則 F+V-E=2，這就是歐拉定理，F+V-E=2是空間上的歐拉公式，F+V-E=1是平面上的歐拉公式。

歸納作為一種方法，總結來說，就是從個性認識共性，從特殊認識一般。人們認識事物總是從個別事物開始，再逐步認識一般事物的共同性質，因此歸納法對人類認識范圍的擴大具有重大意義。

（二） 類比猜想

類比：類比是在兩個或兩類事物間進行對比，從中找出若干相同或相似的點后，猜測該兩個或兩類事物在其他方面也可能存在相同或相似之處，并作出某種判斷的推理方法。它在數學的發展中一直發揮著重要作用，類比推理是發現概念、定理、公式和方法的重要手段。人們經常在數與式之間、等式與不等式之間、平面與立體之間、一維與多維之間、低次與高次之間進行種種類比。

【例2】用行列式表示長度、面積、體積

一維：數軸上兩個點x1，x2；則長度l=x2-x1；

用行列式表示為l=1x11x2；

二維：平面上的三個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）；

這三個點可以構成一個三角形，三角形的面積為S=12！1x1y11x2y21x3y3；

類比推理三維：空間上的四個點（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），（x4，y4，z4）組成一個四面體，四面體的體積V=13！1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4。

與歸納相比，類比需要更加豐富的數學功底，包含更多的直覺成分，運用類比法的關鍵因素是尋求合適的類比對象，并確定它們之間的相同屬性，因此有人說，類比就是在兩個或兩類事物之間求同存異。它要求在客觀上雙方必須有某些相同或相似之處，當相同或相似的屬性越多，運用類比法就越可靠。

三、 結語

歸納、類比作為一般的科學方法，不僅是人們認識數學、發展數學的重要方法，更是人們探索問題、尋求和發現真理的重要方法。歸納、類比是學習數學概念和原理、探索數學結論的重要方法。

現代教育目的觀要求我們培養具有創造精神和實踐能力的智能型、創新型人才，因此，注重歸納、類比方法的教與學，對真正地理解數學和培養創造能力，都是極其重要的。

參考文獻：

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[2]陳兆華，費忍允.歐拉公式的證明與應用[J].數學通報，2005.

[3]向長福.從幾個著名數學猜想談數學猜想的方法[J].科教導刊，2010.

作者簡介：

吳曉瓊，廣東省深圳市，深圳大學數學與統計學院。endprint