淺談綜合題的常見解法

林玉珍??

摘要：在現(xiàn)在中考中，簡單的題目很容易得分，但是為了區(qū)分，還會有幾道壓軸的綜合題，很多同學遇到后都不懂如何入手，因而常常考不出理想的分數(shù)，所以如何解綜合題在中考中尤其重要。

關(guān)鍵詞：綜合題；旋轉(zhuǎn)；遷移

綜合題是初中數(shù)學中綜合性最強的題型，它既考查了初中數(shù)學的主干知識，又考查學生對數(shù)學知識的遷移整合能力。綜合題常常結(jié)合圖形的旋轉(zhuǎn)。圖形的旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，由于旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而保持了許多圖形的不變量。例如，下面這一道2015年三明的中考題：

在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°。

（1） 將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；

接著我們來看幾何畫板，

1. 題目中總共告訴我們幾個條件？

很好，三個。第一個是ABCD是正方形，第二個是∠EAF=∠CEF=45°，第三個是將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG。從這三個條件挖出你需要的，證明這兩個三角形全等。

2. 我們知道證明兩個三角形全等一般需要三個條件，通過圖形分析我們知道已經(jīng)有哪個條件了（很好，有一條公共邊），接下去我們再找另外的條件，這道題關(guān)鍵的條件是旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)我們得到什么，很好，全等，所以旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段相等，所以AF=AG，又因為繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，所以旋轉(zhuǎn)角為90度，所以∠FAG=90度，又因為∠EAF=45，所以∠GAE也等于45°，所以這兩個角相等，因而利用邊角邊得到這兩個三角形全等。

（2015三明）在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°。

（2） 若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點M，N（如圖②），求證：EF2=ME2+NF2；

看到這個形式你想到了什么？——很好，直角三角形。可是通過看圖我們發(fā)現(xiàn)這三條線段并沒有在同一個三角形中。那接下去要怎么做呢？——很好，把這三條線段移到同一個三角形中。那要怎么移呢？這就是綜合題考查大家數(shù)學知識的遷移能力。

接下來我們來分析條件，條件只有大前提的兩個：一個是ABCD是正方形，另一個是∠EAF=∠CEF=45°。最后要證明EF2=ME2+NF2，跟第一小題比沒有增加什么實質(zhì)性的條件。根據(jù)第一小題我們知道：將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，此時△AEG≌△AEF，從而有EF=EG。這時候要證明的這三條線段已經(jīng)有兩條在同一個三角形中了，接下去連接GM，看看另一條會不會也等于GM，而且這又是一個直角三角形。接下去我們根據(jù)題目給我們的條件ABCD是正方形和∠EAF=∠CEF=45，我們得到什么？——很好，我們得到∠N=45，為什么，因為正方形，所以AN平行BC，所以∠CEF=∠N=45，所以三角形AMN是等腰直角三角形，所以AM=AN。又因為將△ADF旋轉(zhuǎn)得到△ABG，所以AF=AG，∠DAF=∠BAG，所以△AGM≌△AFN，所以GM=FN，所以要證的這三條線已經(jīng)移到同一個三角形了，接下去證明直角。因為∠DMA=∠N=45，又因為∠AME=45，所以∠GME=90，所以三角形GEM是直角三角形，從而得證。

（3） 將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），試探究線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

其余的條件不變是指什么條件，很好，∠EAF=∠CEF=45°，所以總共有兩個條件，一個是矩形，另外一個是這兩個角相等。最后要問這三條線段的數(shù)量關(guān)系。

其實第二小題我們在正方形中得出了三條線段的數(shù)量關(guān)系，但不是這三條。那么我們可不可以參考第二小題的證明思路，先證明第二小題中的這三條線段是不是在矩形中有類似第二小題的數(shù)量關(guān)系。所以我們要參考第二小題，將直線EF與AB，AD的延長線也分別交于點M，N。

類似第二小題我們知道△AMN是一個等腰直角三角形，所以我們得到AM=AN，又根據(jù)我們前兩小題的解題思路，我們會將△ANF繞著A點順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到△AMG，參考第二幅圖，連接GE，利用邊角邊證明△AGE≌△AFE。所以EF=EG。類似第二小題，得到△GME是直角三角形，所以EG2=GM2+ME2。但是題目不是要證這三條的數(shù)量關(guān)系，而是EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，通過分析我們知道，GM=NF，且NF=2DF，所以GM=2DF，同理：ME=2BE。又因為EG2=GM2+ME2所以EG2=（2DF）2+（2BE）2，即EF2=2DF2+2BE2

在解綜合題時著重考查學生的分析推理、歸納總結(jié)、遷移整合能力。學生要善于分析總結(jié)題目給的方法或者前面第一小步的解題方法，盡量將這種思路遷移到后面各個小題的解題中去。

作者簡介：

林玉珍，福建省漳州市第三中學。endprint