群論與線性空間的教學

王施偉+魯金川+江琪+史葉萍+周悅

摘 要： 線性空間和群論是代數學中的重要內容，它們存在許多相似的地方。注意到線性空間關于加法成Abel群，所以群的某些性質在線性空間中也應成立。本文運用群論中群的同態基本定理，證明線性空間中關于同構的兩個性質。

關鍵詞：群論；同態基本定理；線性空間；同構

一、 引言

線性空間是高等代數中重要的研究對象。群論是近世代數里的基本內容，隨著代數學的發展，線性空間和群論在數學研究中的作用越來越重要，現在已經成為代數領域的重要研究工具。同時，線性空間和群論本身都是重要的研究對象。線性空間和群論存在許多相似的概念和定理。

王萼芳、石生明等學者對線性空間以及其上的重要概念做了很多研究，比如線性子空間、線性變換等，得到了許多重要結果。聶靈沼、丁石孫等學者對群及其上的重要概念和定理進行了很多研究，如群同態基本定理、群同構等，也得到了許多重要的結果。但是這些學者的研究方向大多是僅在線性空間或者是群上，并沒有將它們統一聯系起來。因此，為了更好地學習高等代數和近世代數以及找到高等代數和近世代數之間更深層的聯系，我們需要做進一步的分析與研究。

本文通過線性空間與群論的對比，發現線性空間關于自身的加法成Abel群，所以群論中的相關性質在線性空間中也應成立，如群的同態基本定理等。

文獻[1]給出了線性空間上的重要概念和公式以及部分重要定理的證明。文獻[2]給出了群論中的重要概念、公式及相關重要定理的證明。

本文共分為兩個部分。第一部分，給出線性空間和群論的重要定義以及定理的概念。第二部分，給出本文的主要結果，即線性空間中關于同構的兩個性質，并用群論的相關結論給出證明。

二、 線性空間和群論的基本概念

本章中，我們會給出線性空間和群論的相關基本概念。

首先我們給出線性空間的定義。

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明.高等代數（4版）[M].北京：高等教育出版社，2008：244-303.

[2]聶靈沼，丁石孫.代數學引論（2版）[M].北京：高等教育出版社，2016：23-60.

作者簡介：王施偉，魯金川，江琪，史葉萍，周悅，江蘇省南京市，南京信息工程大學數學與統計學院。endprint