用信息技術重塑波利亞的問題解決理論

蔣培杰

摘 要 在簡述喬治·波利亞生平及其問題解決理論的基礎上，指出信息技術應用于問題解決能夠拓展解題者思維的深度和寬度，以圖形計算器技術為例，給出信息技術應用于解題的四個步驟，重塑波利亞的解題表，搭建用信息技術重塑波利亞解題理論的一個框架，通過案例對重塑后的解題表做實際應用，并指出整合信息技術創新波利亞問題解決理論和數學方法論的若干研究方向。

關鍵詞 數學教育；波利亞的問題解決理論；解題表；信息技術；圖形計算器技術

中圖分類號：G652 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）14-0111-03

Information Technology Reshaping George Polyas Theory of Problem Solving//JIANG Peijie

Abstract In brief review of George Polyas life and his theory， its

pointed out that he application of information technology expanding the problem-solvers depth and width in thinking. Taking the gra-phing calculator as an example of IT， this paper gives four steps of

problem solving with information technology application， and re-

shapes George Polyas table of problem solving. Setting up a frame-work of problem solving with IT to reshape George Polyas problem solving theory， this paper takes some conclusions relating Fermats conjecture for prime numbers for a concrete example and put for-ward some research directions.

Key words mathematics education； George Polyas problem solving theory； table of problem solving； IT； graphing calculator

1 引言

現代信息技術已經對全世界經濟、政治和文化產生重大而深遠的影響。在數學教育領域，用技術改造和重塑數學教育也逐漸成為數學教育界的共識。那么，如何用技術重塑數學教育？一般而言，用信息技術重塑數學教育包含理論和實踐兩個部分。目前信息技術已經在數學教育的廣闊領域中得到一些應用，但還遠未達到重塑數學教育的程度，其中一個主要的原因就是用信息技術重塑數學教育還缺少理論上的創新。因此，在實踐的同時整合信息技術從而重塑經典數學教育理論，意義重大。

在數學教育領域稱得上經典理論的只有波利亞的問題解決理論和弗賴登塔爾的數學教育理論[1]。正如著名數學家、數學教育家江澤涵所述，波利亞在問題解決方向的工作討論的不僅是求解數學問題，實際上闡述到認識論和科學方法論。每一位科學工作者，不論他的專業是哪一種，只要他有高中數學水平，他在遇到問題等待解決時很有可能從波利亞的書中得到啟發[2]。但是受限于時代和技術的發展，波利亞當時的工作并未考慮信息技術這一工具。在這樣的背景下，整合信息技術、用技術重塑波利亞的問題解決理論，成為值得研究的課題。

2 波利亞及其問題解決理論簡介

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya，1887—1985）是20世紀最有影響力的數學家之一，他在數學的廣闊領域內有精深的造詣，在概率論（隨機漫步理論）、組合、代數、數論和幾何上均有奠基性的工作，但他主要的研究興趣是實分析和復分析[3]。作為當時第一流的數學家，波利亞對解題教學有濃厚的興趣。為回答“一個好的解法是如何想出來的”這個困惑很多人的問題，他專門研究解題的思維過程，把研究成果寫成《怎樣解題》一書，后續還著成《數學的發現》和《數學與猜想》作為其思想的延續，建立了可用之逼近任何層次數學問題解決的思維原則，被稱為數學問題解決之父[4]。

波利亞在數學教育方面所取得的成就對世界數學教育有深遠的影響，他在解題思維規律研究領域有許多奠基性的工作。他認為中學數學教學的首要任務就是教會學生思考，而教會思考的主要途徑之一就是加強解題的訓練。他認為教學是一門藝術，并提出關于教學的若干原則[5]。他著重論述的是數學發現的規律以及解題研究和解題教學的思想，提出歸納和類比等合情推理模式[6]，對數學教育影響至今。

《怎樣解題》的核心是作者分析解題思維過程得到的一張解題表，并以精練的案例來說明這張表的實際應用。該表包括弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧四大步驟，將尋求解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發性的問題，使得解題表能在解題過程中不斷啟發解題者進行聯想[1]。

3 信息技術在解題中的作用及波利亞解題表的重塑

信息技術在解題中的作用 人和動物的主要區別之一在于使用勞動工具[7]，這意味著使用勞動工具使得人類區別于其他動物，有了質的不同。同樣的，信息技術是思維的工具。可以類比，思維過程中有技術的輔助和沒有技術的輔助也有質的不同。根據波利亞的理論，解題意味著“從困難中去找出一條越過障礙的路，使我們能夠達到一個不易及時達到的目標”[8]。

圖形計算器技術的作用在于為人們尋找這條“路”提供了強有力的工具，為人們的各種嘗試（作圖和計算等）節省時間并促發思考，從而提高思考和發現的效率。因此，圖形計算器技術能夠應用于解題的原理在于，正確使用圖形計算器技術能夠拓展思維的深度和寬度，能促進解題者對問題的多元理解，提供對特例的驗證并啟示做出發現，為解題探索縮短路徑，提高使用者的計算和作圖效率，從而使解題者能夠以更寬的視角來看待問題，以更具體的方式來處理問題，這都有利于解題者捕捉解題思路，構思解法并解決問題。

波利亞解題表的重塑 波利亞的解題表是波利亞問題解決思想的凝練，是解題過程中思維應遵循的規則。重塑波利亞的問題解決理論，從波利亞的解題表開始是一個合適的起點。

1）問題解決的四個步驟。基于波利亞的解題表，整合圖形計算器技術，概括得到重塑后的解題表。

?2）對解題表的說明。表1是重塑后的解題表，加粗字體部分為新增內容。該表較波利亞原解題表[9]少了一些內容，那是因為未出現的原表內容即便在信息技術支持下也無須更改，為使得重塑后的表格既凝練又不影響完整性，原表中一些經典的提問并未列出，但這并不說明這些內容不重要。

新的解題表在弄清問題過程中增加“可用圖形計算器”，意在提示解題者可以考慮圖形計算器作為運算和作圖的工具，簡化不必要的煩瑣計算。這個提示可以塑造解題者使用信息技術的意識。“如有必要，利用圖形計算器作圖，將條件和問題可視化”，則是提示信息技術的具體作用，能夠幫助解題者更好地理解面對的問題。

新的解題表在擬定計劃過程中提出“如有必要，用圖形計算器算一算”，意在提示解題者如果面對的是計算問題或者需要煩瑣的計算，那么沒有必要手算的不妨讓技術代勞，解題者可以把精力放在深入思考問題或者思考問題的其他方面。同時，計算器的作圖等功能為解題者的思維新增維度，讓思維可以更深、更廣，從而啟示解題者發現解決問題的思路。這里也指出有必要才使用技術，沒有必要則不用，不能濫用信息技術。“圖形計算器是否有幫助”“用上圖形計算器”，則是提示解題者隨時可以用上計算器的強大計算和作圖功能。

新的解題表在實現計劃過程中新增“正確使用圖形計算器”“圖形計算器是否有幫助”兩個提示，提醒解題者不能濫用圖形計算器。使用技術應恰當，要思考并知道何時信息技術可以起作用。

新的解題表在回顧階段提出“如有必要，用上圖形計算器”，提示解題者技術是驗證的好工具；“不用圖形計算器能得到結果嗎？圖形計算器的作用是什么”，提示解題者脫離工具的束縛，思考沒有信息技術能不能解決問題，弄清楚問題的本質，以便遷移。

4 具體案例

案例：與Fermat素數猜想有關的若干結論。Fermat曾經遇到這樣的情況，他觀察到，，

257，都是質數，所以他猜想（n∈N*）是質數。在這個猜想提出半個世紀以后，歐拉指出：

不是質數。

有信息技術支持，按照表1的提示，直接用圖形計算器質數判別功能得到不是質數，同時得到它的因數分解。同樣的方式不難得到、、都不是質數，從而借助信息技術得到新的猜想：（n≥5）都是合數。當然，這只是猜想。

回顧階段利用圖形計算器還可以探究相關的問題，見圖1。

可見，、、、的末尾數字都是7，由此可以猜想（n≥2）的末尾數字都是7，這意味著1（n≥2）！而這個結論是正確的，因為不難得到（m≤n）！由于，從而（n≥2），不僅有（n≥2），還有（n≥2）。

進一步探索，用圖形計算器對、、都做因數分解，見圖2。

借助圖形計算器不難發現這些數要么是質數，要么是兩個質數的乘積，因此可以得到一個猜想：所有形如（n≥2）的數要么是質數，要么是兩個質數的乘積。當然，這個結論只是猜想。

從以上利用圖形計算器發現新結論可見，應用技術的確提高了人們發現問題、分析問題和解決問題的能力。正因為信息技術拓展了人們思維的深度和寬度，這才讓人們發現結論更加容易。

5 研究展望

波利亞的問題解決理論博大精深并涉及認知科學和科學哲學，只言片語無法論述清楚。本文在波利亞解題表的基礎上融入信息技術的應用，構造整合技術后的解題表，只是搭建一個初步的研究框架，而使用的圖形計算器技術與其他計算機代數系統相比，功能也十分有限。信息技術用于重塑波利亞的問題解決理論有很多途徑和思路，以下為一個梳理。

信息技術支持下波利亞思想與元認知研究 元認知的培養與訓練是深化波利亞解題思想的重要手段[10]，而元認知與波利亞思想的關系目前并未梳理清楚。波利亞的解題表可以認為是一系列關于解題的元認知策略。那么信息技術支持下元認知策略是否會更豐富？而這對波利亞思想與元認知的關系研究是否有影響？

信息技術支持下波利亞教學原則創新研究 波利亞著作中反復強調“學習任何東西最好的方式是親自去發現它”“盡可能讓學生在現有條件下親自去發現盡可能多的東西”，強調學生的數學學習興趣[11]。在信息技術支持下，借助簡單的CAS計算器、動態幾何軟件，學生的“現有條件”已遠勝過去。那么在有信息技術支持的條件下，學生再發現數學有哪些優勢？如何用好這些優勢更好地學習和再創造？

信息技術支持下波利亞探索法（heuristic）研究 波利亞的探索法是一種科學方法——分析和綜合。波利亞對如何分析以及如何綜合的具體建議集中體現在其解題表中[9]。

有信息技術支持，分析的策略和可能將得到極大的拓展，那么如何拓展？這種拓展是否會對數學教育有益？

信息技術支持下數學方法論研究 數學方法論是從數量關系和空間形式的角度認識世界和改造世界的一般方法，是關于數學思想和方法的理論。受時代限制，波利亞方法論體系并未考慮信息技術的作用，這也是為什么信息技術可以優化波利亞理論體系。數學作為一種技術用于改造世界的觀點已經逐漸為公眾接受，而反過來用技術來促進認識數學也同樣不能忽略。信息技術支持下，當下的數學方法論體系是否有可能在理論上有所突破？

參考文獻

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]江澤涵.關于玻利亞的《怎樣解題》和《數學的發現》的一些往事[J].中學數學教學，1983（2）：4-5.

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[11]楊騫.波利亞數學教育理論的現代啟示[J].數學教育學報，2002，11（2）：18-20.