構(gòu)造法在高中數(shù)學解題中的應用

摘 要：在解題中被廣泛應用的解題方法之一，就是構(gòu)造法。它具有較強的技巧性和創(chuàng)造性，也是對數(shù)學歸納、猜想、類比、特殊化等思想的體現(xiàn)。對于一些比較棘手的問題，可以通過構(gòu)造法起到事半功倍的效果。構(gòu)造法在解題中的應用，對培養(yǎng)和提高學生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維和解題能力都有積極作用。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；高中數(shù)學；解題教學

將題干中的已知條件中作為“螺帽”，挖掘題干中數(shù)學關(guān)系作為“螺絲”，再依據(jù)題設(shè)的實際情況，巧妙地將二者進行結(jié)合，構(gòu)造出一種新的數(shù)學解題模型或者命題，使得這種新模型或命題，能夠打破常規(guī)思維的局限，能夠更加快捷、簡便、巧妙的解決問題，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、邏輯思維以及創(chuàng)新精神。下面舉例說明。

一、 構(gòu)造圖形

【例1】 已知a，b是兩個非零向量，且a=b=a+b，求向量b與a-b的夾角。

分析：顯然a與b不相等，觀察等式的特點，可聯(lián)想到向量加法的平行四邊形法則，a、b、a+b分別對應平行四邊形的兩鄰邊和對角線，如下圖：

∵a=b=a+b，b=OB，a=OA，

∴平行四邊形為菱形，且△OAC，△OBC為等邊三角形，

∴∠AOB=120°，∠ABO=∠BAO=30°，

∴向量b與a-b的夾角為150°。

二、 構(gòu)造組合數(shù)

【例2】 求證：1×2×3+2×3×4+…+n×（n+1）×（n+2）=14n（n+1）（n+2）（n+3）。

分析：依據(jù)n（n+1）（n+2）=6C3n+2，可將求證式子的左邊化為：

6C33+6C34+…+6C3n+2=6（C33+C34+…+C3n+2）=6C4n+3=6×（n+3）（n+2）（n+1）n4！=14n（n+1）（n+2）（n+3）。

三、 構(gòu)造函數(shù)

【例3】 求使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對一切x∈R恒成立的負數(shù)a的取值范圍。

分析：原不等式可化為：1-cos2x+acosx+a2≥1+cosx，

即cos2x+（1-a）cosx≤a2（a<0），

若令t=cosx，則對一切t∈[-1，1]，t2+（1-a）t≤a2恒成立。

觀察不等式的左邊聯(lián)想構(gòu)造二次函數(shù)f（t）=t2+（1-a）t，t∈[-1，1]。

問題轉(zhuǎn)化為“求使f（t）≤a2（ t∈[-1，1]）恒成立的負數(shù)a的取值范圍”。

首先求二次函數(shù)f（t）=t2+（1-a）t，在[-1，1]的最大值，

∵拋物線的對稱軸t=-1-a2=a-12<-12（a<0），

∴當t=1時，f（t）max=2-a，

∵f（t）max≤a2，∴2-a≤a2，

a2+a-2≥0（a+2）（a-1）≥0，

又a<0，故a≤-2。

【例4】 已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的取值范圍。

分析：由題設(shè)條件得a+b+c+d=8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2，若能聯(lián)系起a+b+c+d與a2+b2+c2+d2的關(guān)系，那么想要求出e的取值范圍，就可水到渠成了。

于是構(gòu)造二次函數(shù)這個思路就比較清晰了

y=（x+a）2+（x+b）2+（x+c）2+（x+d）2展開，得

y=4x2+2（a+b+c+d）x+a2+b2+c2+d2，

因為所構(gòu)造的二次函數(shù)y≥0，所以Δ≤0，

即4（a+b+c+d）2-16（a2+b2+c2+d2）≤0，

即（8-e）2-4（16-e2）≤0，

解得0≤e≤165。

四、 構(gòu)造等差數(shù)列

【例5】 已知△ABC的三個內(nèi)角為A、B、C且滿足A+C=2B，1cosA+1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值。

分析：由A+C=2B，知B=60°，A+C=120°

∴1cosA+1cosC=-22。

又∵cosA+cosC=2cosA+C2cosA-C2=2cos60°cosA-C2=cosA-C2，

∴cosA-cosC=-2sinA+C2sinA-C2=-3sinA-C2。

由1cosA+1cosC=-22，聯(lián)想到構(gòu)造等差數(shù)列1cosA，-2，1cosC，設(shè)公差為d，

則1cosA=-2-d，1cosC=-2+d，

∴cosA=-12+d ①

cosC=-12-d ②

①+②得：cosA-C2=22d2-2，

①-②得：sinA-C2=2d3（d2-2），

∵sin2A-C2+cos2A-C2=1，

∴解得d2=6，因而cosA-C2=22d2-2=226-2=22。

五、 構(gòu)造遞推關(guān)系

【例6】 證明方程x2-2y2=1有無窮多組正整數(shù)解。

分析：容易得出方程的一組正整數(shù)解為（3，2）。

解：設(shè)x1=3，y1=2，若（xn，yn）是方程的一組正整數(shù)解，則x2n-2y2n=1，

即（x2n-2y2n）2=1，即（x2n+2y2n）2-2×4x2ny2n=1，

也即（x2n+2y2n）2-2×（2xnyn）2=1.令xn+1=x2n+2y2n，yn+1=2xnyn。

上式說明方程的一組正整數(shù)解為（xn+1，yn+1）。同理推導得，由x1=3，y1=2，易得數(shù)列{xn}，{yn}都是正整數(shù)數(shù)列，且是遞增的。從而方程的正整數(shù)解為無窮多組（xn，yn）（n=1，2，……）。且遞推關(guān)系為xn+1=x2n+2y2n，yn+1=2xnyn。

作者簡介：

陳浩，現(xiàn)就職于陜西省咸陽市西藏民族大學附屬中學。endprint