從混合模空間到加權Zygmund空間的積分算子的有界性和緊性

周 林

（連云港開放大學學工處，江蘇連云港222006）

文獻［1］中討論了單位圓盤上從混合模空間到加權型空間的積分算子的有界性與緊性，文獻［2］中討論了單位球上從Zygmund空間到Bloch型空間的積分算子的有界性與緊性，文獻［3］中討論了單位球上Bloch型空間上積分算子的有界性與緊性，文獻［4］中討論了單位圓盤上有界解析函數空間與Bloch空間到Zygmund空間積分算子的有界性與緊性，文獻［5］中討論了單位圓盤上混合模空間到Bloch型空間的積分算子有界性與緊性.文獻［6］中討論了單位圓盤上混合模空間到Zygmund空間的加權微分復合算子的有界性與緊性，與文獻［6］不同，文中討論了混合模空間到Zygmund空間的積分算子的有界性與緊性.文中將要討論的算子定義如下.文中字母C是一個正常數，不同的地方可以不同.

1 預備知識

H（D）表示D上所有的解析函數的集合.對于0＜p,q＜∞，φ為正規函數,若f∈H（D）且：

引理 1［6］設 0＜p,q＜∞，φ 是正規函數，f∈H（p，q，φ）,那么對于任意自然數 n，存在一個與 f無關的正常數C，使得：

由M ont el定理及緊算子定義，可以得出下面的引理.

引理2設,u∈H（D），φ是D上的解析自映射，0＜p,q＜∞，φ是正規函數，則算子是緊算子的充要條件是是有界算子且對于H（p，q，φ）中在D的緊子集上一致收斂于0的任意有界列

2 主要定理及證明

定理1設0＜p,q＜∞，φ是正規函數，u∈H（D）,φ是D上的解析自映射，則算子Cn，uφ:H（p，q，φ）→Z是有界算子的充要條件為：

證首先假設（1）,（2）成立，那么對于任意f∈H（p，q，φ），由引理1可得：

由上式兩式以及（3），（4）可知（1）,（2）成立.

證畢.

定理2設0＜p,q＜∞，φ是正規函數，u∈H（D）,φ是D上的解析自映射，則算子是緊算子的充要條件為是有界算子且：

由（7）～（10）可知當 i＞i0時，有：

在以上兩式兩邊令i→∞，可得：

故（5），（6）成立.

證畢.

［1］Stevic＇S.Generalized composition operators between mixed-norm and weighted-type spaces[J].Numerical Functional Analysis and Optimization,2008,29(7-8):959-978.

［2］Stevic＇S.On an integral operator from the Zygmund space to the Bloch-type space on the unit ball[J].Bull Science Mathematics,2010,134(4):329-339.

［3］Stevic＇S.On an integral operator between Bloch-type spaces on the unit ball[J].Glasg Mathematics,2009,51(2):275-287.

［4］LI Songxiao,Stevic＇S.Products of Volterra type operator and composition operator from and Bloch spaces to Zygmund spaces[J].Journal of Mathematics Analysis and Application,2008,345:40-52.

［5］曹成堂，黃興華.從混合模空間到加權Bloch空間的積分算子的有界性與緊性[J].淮海工學院學報（自然科學版）,2012,21(1):11-14.

［6］LIU Yongmin,YU Yanyan.Weighted differentiation composition Operators from mixed-norm spaces to Zygmund spaces[J].Numerical Functional Analysis and Optimization,2010,31(8):936-954.

［7］Abdul Quddus,Al-Hadhrami LM.The product of differentiation and multiplication operator from the mixed-norm to the Bloch-type space[J].Acta Mathematics Science,2012,32A（1）:68-79.