集合悖論再議

□楊紅梅

(山西廣播電視大學,山西 太原 030027)

19世紀70年代,數學家康托爾(德國,1845-1918)發表了一篇關于無窮集合理論的第一篇革命性的論文,標志著《集合論》的創立。1900年,希爾伯特在國際數學家大會上說,“集合論是人類純粹智力活動的最高成就之一”。然而,1903年，羅素(英國，1872-1970年)提出一個簡明的集合悖論，打破了人們的希望，引發了數學基礎新的爭論和研究。1908年,策梅洛提出了7條公理組成的集合論體系,稱為Z公理系統;1922年,弗蘭克爾又加進一條公理,還把公理用符號邏輯表示出來,形成了集合論的ZF公理系統;再后來還有伯奈斯和哥德爾改進的ZFC公理系統。這些系統由于嚴格規定了一個集合存在的條件,避免產生悖論的集合存在,初步完成了由樸素集合論(康托兒提出的集合論)到公理集合論的發展過程。

1965年,在康托爾創立的經典集合論的基礎上,美國控制論專家扎德(L.A Zadeh)教授發表了《模糊集合》(《Fuzzy Sets》)論文,標志著模糊數學的誕生。模糊數學打破了集合的三個特性之一的確定性,是描述和處理“亦此亦彼”的模糊不確定性的數學分支,也是集合理論的拓展。

1989年,我國學者趙克勤先生經過近30年對集合論、系統科學等學科的潛心研究和思考,提出集對分析(Set Pair Analysis,簡稱SPA)理論。SPA是系統科學與數學深度融合的新的交叉學科,是研究不確定性理論的一種新的系統分析方法;它不是僅僅靠計算得到的數去說明問題,而是還要靠對“數的構成”去分析并尋找問題的根源;它是研究、分析和處理由模糊、隨機、灰色等現象所導致的不確定性的數學分支;它也是集合理論的提升和發展。

危機意味著挑戰。無論是公理集合論,還是模糊數學,亦或是SPA理論,數學家們就此展開了激烈的爭論,都在為研究和完善集合論做著不懈探索。悖論的破譯過程產生許多新的重要成果,也促進了數學的大發展。

一、集合悖論引發的爭論

數學史上的三次危機都與“無窮”有關。每次數學危機之后,都是數學的基礎部分受到質疑。

第一次數學危機發生在公元前580～568年之間的古希臘,當時人們對有理數的認識還很有限,對于無理數的概念更是一無所知,畢達哥拉斯學派所說的數,是指整數或兩個整數之比,他們認為,宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。直到發現無理數,建立實數理論才宣告危機解除,這期間經歷了兩千多年的時間。

第二次數學危機發生在17世紀微積分誕生后,由于微積分的理論基礎不夠完善,數學界出現了混亂局面。微積分的形成給數學界帶來了革命性的變化,在各個科學領域得到廣泛應用,但微積分在理論上存在矛盾的地方。無窮小量是微積分的基礎概念之一。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中,第一步用了無窮小量作分母進行除法,當然無窮小量不能為零;第二步牛頓又把無窮小量看作零,去掉那些包含它的項,從而得到所要的公式,在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的,但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。正所謂是用錯誤的方法得到正確的結果。此后,貝克萊提出質疑(貝克萊悖論):無窮小量是零還是非零?如果是零,怎么能用它做除數?如果不是零,又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢?直到19世紀,柯西詳細而有系統地發展了極限理論?？挛髡J為無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量,因此本質上它是變量,而且是以零為極限的量,至此柯西澄清了無窮小的概念,第二次數學危機基本解決。這期間經歷了200多年的時間。

第三次數學危機發生在19世紀末和20世紀初。19世紀70年代德國數學家康托爾提出集合理論。它的問世引起了數學界的巨大震動,同時也遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了,并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現,從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石?！耙磺袛祵W成果可建立在集合論的基礎上”,這一發現使數學家們為之陶醉。

然而,英國數學家羅素打破了這種局面。他提出了著名的集合悖論(羅素悖論),也可通俗地表述為理發師悖論:村上有一個理發師貼出公告,宣稱他為所有不為自己理發的人理發。這公告看上去沒有邏輯問題,但理發師的頭發該由誰理?他給自己理與不理發都有矛盾。集合論是有漏洞的,這讓數學界很震驚,也讓很多數學家很沮喪,甚至這個問題逼瘋了集合論的創立者康托兒。還有德國著名的邏輯學家弗雷格在他的關于集合的基礎理論完稿付印時,收到羅素關于這一悖論的信。他發現自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。于是,他只能在自己著作的末尾寫道:“一個科學家所碰到的最倒霉的事,莫過于是在他的工作即將完成時卻發現所干的工作的基礎崩潰了?！?/p>

危機出現后,包括羅素本人在內的許多數學家們做了巨大的努力來消除悖論。當時,消除悖論的方法有兩種,一種是拋棄集合論,再尋找新的理論基礎,另一種是分析悖論產生的原因,改造集合論,探討消除悖論的可能。

二、破解集合悖論所產生的新成果

數學家們選擇破解、改造集合悖論。在數學家們和學者們的努力之下,在康托兒的樸素集合理論的基礎上形成了很多數學分支。

(一)ZFC公理化集合論。羅素悖論提出后,數學家們紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造,通過對集合定義加以限制來排除悖論,這就需要建立新的原則。這些原則必須足夠狹窄,以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊,使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。解決這一悖論主要有兩種選擇,ZFC公理系統和NBG公理系統。

策梅洛在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系,后來這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理化系統在通過弗蘭克爾的改進后被稱為ZF公理系統,還有被伯奈斯和哥德爾改進的ZFC公理系統。

除ZFC系統外,集合論的公理系統還有多種,如馮·諾伊曼等人提出的NBG系統等。

(二)模糊集合理論。集合論中集合元素有三個特征,即確定性、互異性和無序性。模糊集合理論是對集合概念中元素確定性的挑戰。

Zadeh教授提出的模糊集理論,試圖突破經典集合論中元素的確定性特征,去創建一種新的數學理論去研究一大類模糊系統,但人們很快發現,Zadeh的模糊集理論在本質上仍然以經典集合論為基礎,在用隸屬度刻畫系統的模糊性時丟掉了真正的模糊信息。

(三)集對分析理論。集對分析是在系統科學、集合理論等學科基礎上發展起來的新的數學分支。

系統是事物存在的一種方式,系統普遍存在。但由于人們對客觀事物認識的階段性限制,直到20世紀20年代,才由奧地利生物學家貝塔朗菲建立了一般系統論的理論框架;幾乎同時,英國軍事部門的科學家和工程師用系統的思想研究和解決雷達系統在應用中遇到的問題,使得對系統的研究延伸到工程技術層次;之后,美國研制原子彈的曼哈頓工程,阿波羅登月工程,都應用系統原理,成為系統科學與工程取得巨大成功的范例。至今,系統科學與系統工程技術被廣泛應用于社會、經濟、政治、軍事、外交、文化教育、生態環境、醫療保健、行政管理等眾多部門,取得眾多令人滿意的成果。

20世紀80年代以來,人們陸續發現一大類自然系統與社會經濟系統存在復雜性,特別是系統內在運行機制的復雜性,一個突出的例子是系統混沌現象的發現,使得對系統的科學研究進入到復雜性研究階段。上世紀末,普利高津在非平衡統計物理研究中提出了耗散結構理論,把對復雜性與復雜系統的研究推到了一個新的水平,而不確定性是導致系統復雜性的一大因素。如今,不確定性、復雜性和復雜系統的概念涵蓋了物理、生物、社會經濟與工程、人文與教育等眾多領域。系統科學著眼于對系統性質和演化行為具有不確定性規律的研究,已成為21世紀系統科學發展的一個重要方向。

在國內,系統科學的研究始于20世紀50年代推廣應用的運籌學。70年代末,著名科學家錢學森等專家學者提出利用系統思想把運籌學和管理科學統一起來,推動了系統科學在社會經濟和科學技術各個方面的廣泛應用。中國科學院在上世紀把所屬的數學研究所與系統科學研究所合并組建為數學與系統科學研究院,成為我國數學與系統科學研究的中堅力量。最近幾年,人工智能和量子通訊又大踏步進入人們的視野,中國科學家在人工智能和量子科學方面的研究已走在世界前列,但這兩者也與系統不確定性的研究有關。

至于經典的處理不確定性的概率統計理論,其公理化體系也完全建立在集合論的基礎上,但集合論存在“羅素悖論”“說謊者悖論”等多種悖論,哥德爾不完全性定理證明了含有算術運算的系統都是不完備系統,說明了對于系統的研究無法避開不確定性的困擾。

趙克勤提出的經過多年思考的集對分析理論,是把有一定聯系的兩個集合組成一個對子(集對)加以研究,對組成集對的兩個集合在給定問題背景下的全部關系分為確定性關系和不確定性關系兩類,對這兩類關系占所論兩個集合總關系的比例用一個滿足歸一化的二元聯系數表示,實現了對復雜系統中確定性關系與不確定性關系對立統一的整體定量刻畫和系統描述,從而突破了經典集合論的理論束縛。經由二元聯系數擴展而來的三元、四元、五元直至無窮多元聯系數,把人們對不確定性與確定性關系的辯證認識轉換成具體的數學工具,可以在不同的空間尺度上刻畫系統中確定性與不確定性的相互聯系,聯系數也因此成為集對的特征函數。如今,集對分析及其聯系數已在載人航天數據快速評估、氣象預報和水文水資源、計算機與人工智能、安全與非傳統安全、管理與決策、教育與衛生統計等領域得到廣泛應用,在中國知網上用關鍵詞集對分析檢索有2000多篇中文文獻,100多篇英文文獻,其中有中國工程院院士、天津大學校長鐘登華為第一作者的《基于改進集對分析方法的高心墻堆石壩填筑工期仿真及風險評價》(水力發電學報2015年第3期第137-144頁)。從系統的角度看,集對分析能得到廣泛應用的一個原因是集對分析對所研究的系統問題中的不確定性,“客觀承認、系統描述、定量刻畫、具體分析”,實質是把一個系統的確定性關系與不確定性關系作為這個系統的子系統處理。從數學基礎看,集對分析不僅對集合論的羅素悖論作了合理的解讀(同時用一個確定的集合和不確定的集合(組成集對)去描述理發師要服務的全體對象),為羅素悖論建立了一個合理的數學模型;還借助聯系數,把經典概率論和模糊集理論統一起來;又通過聯系數的伴隨函數偏聯系數,刻畫系統在微觀層次上的矛盾運動。

集合是處理元素與集合的關系,集對是處理集合與集合的關系,因此,集對分析比集合理論更為復雜。集對分析理論對羅素悖論采取集對解讀方式,在破解悖論方面很實用。

三、集對分析與微積分交叉結合的前景

微積分的建立給17世紀的數學界帶來了巨大的繁榮，是數學史上初等數學與高等數學的分水嶺和轉折點。也是高等數學基礎學科。集對分析是一門新興的交叉學科逐漸被人們所認識。

集對分析中偏聯系數刻畫的系統微觀層次上的矛盾運動趨勢(“見微知著”)與同一系統在宏觀層次上的運動規律(“宏觀觀控”)的關系與協調機制研究處于國際國內領先水平。

集對分析是從系統的角度考慮問題,經典微積分是從運動的角度考慮問題。如何從微觀結構的演化趨勢與系統宏觀狀態的相互作用機制進行研究;如何定量刻畫系統微觀結構演化階段性趨勢和結局的聯系數模型和聯系數算法;如何從系統微觀結構優化與系統整體狀態優化的關系,包括協同關系、變異關系和對立關系(簡稱同異反關系)出發;如何就基于集對分析聯系數的系統微觀運動趨勢建模及算法與經典微積分中刻畫物體宏觀運動的微積分建立聯系,構建系統的“狀態-趨勢模型”。再將其成果推廣應用,這將會產生更多研究成果。

四、結論

實踐證明,集合悖論引發的第三次數學危機,促進了數學的大發展。

(一)ZFC公理化集合理論為排除出現悖論，對構成集合的元素附加了嚴格的條件，把有可能產生悖論的元素先排除，不讓其進入集合，就如羅素理發師悖論中，理發師自己是在“所有不為自己理發的人”之外的人。此理論也可認為是消極地躲避矛盾。

(二)打破集合中元素的確定性特征催生了模糊數學的創立與發展。模糊數學的本質思想是隸屬度思想，它是在集合論的基礎上將不確定性轉化為確定性問題來處理。

(三)數學本性是要把得到的概念、方法和結論，推廣到所有、全體、無窮，從這個意義上說，ZFC有違這一本性。模糊數學本質上仍然是以經典集合論為基礎，在用隸屬度刻畫系統的模糊性時丟掉了真正的模糊信息。集對分析認為確定性與不確定性是個對立統一體，立足于“所有、全體、無窮”，就要對不確定性“客觀承認、系統描述、定量刻畫、具體分析”，既符合數學本性，也符合事實，也不會出現所謂的悖論，因此為數學的發展展示出一個新天地。