硅微機械陀螺儀頻率調諧控制系統設計

曹慧亮，張英杰，閆捷，李宏生，申沖，劉俊

（1.中北大學電子測試技術國防科技重點實驗室，太原030051；2.北京電子工程研究所，北京100854；3.東南大學儀器科學與工程學院，南京210096）

隨著微機械加工工藝的不斷改進以及對微機械陀螺儀研究的深入，微機械陀螺儀的精度逐步提高，其精度已經可滿足很多高精度領域的應用要求[1-4]。在眾多不同原理的微機械陀螺儀中，很多科研單位和公司選擇了采用雙質量結構、電容檢測和靜電驅動工作方式的微機械陀螺結構，以減小檢測軸向加速度對陀螺輸出信號的影響[4]。有研究表明[1]，即使是在大氣壓環境中，微機械陀螺儀敏感結構的機械噪聲也有約2((°)·h-1)/√Hz，而電路噪聲約為 6((°)·h-1)/√Hz，因此，提高微機械陀螺儀結構輸出信號的信噪比可在不惡化電路噪聲的基礎上有效提高微機械陀螺儀的噪聲指標。而增加結構機械靈敏度是一種提高陀螺結構輸出信號信噪比行之有效的方法，該方法可增大陀螺標度因數指標，在受同樣的電路噪聲影響下可大大提高陀螺性能。由于微機械陀螺儀采用了驅動和檢測模態諧振的工作原理，其結構機械靈敏度與驅動和檢測模態諧振頻率差 Δf成反比[4]，所以理論上當 Δf=0 Hz 時，陀螺機械靈敏度達到峰值。但由于受到加工誤差等方面因素的限制，即使在設計階段將驅動和檢測模態諧振頻率設置相等，實際加工出的結構也很難達到Δf=0 Hz的狀態，因此需要研究調節Δf的方法以使結構的機械靈敏度達到最大。

驅動和檢測模態的諧振頻率由相應模態的等效剛度與等效質量的比值決定[2]，而對于模態的等效質量，其值固定很難發生改變，所以在工程上最為有效的方法為固定驅動模態固有頻率而調節檢測模態的等效剛度以達到改變 Δf的目的[5,7]。需要指出的是，由于壓膜梳齒結構只能產生靜電負剛度，即讓原有的機械剛度減小，所以如果采用檢測模態頻率調節方案需要設定檢測模態的諧振頻率大于驅動模態諧振頻率[2]。上述方案實施過程中的難點在于如何判斷驅動和檢測模態頻差，目前采用的方案主要有美國佐治亞理工學院通過檢測回路中正交信號的幅值來判斷是否達到頻率調諧狀態（當處于頻率調諧狀態時，正交信號為最大值）[5]。文獻[6-7]中都采用了通過檢測通道中正交信號的相位與驅動信號相位相對量來判斷驅動和檢測模態之間是否調諧。文獻[7-9]中還介紹了通過哥式信號和外部對檢測模態施加低頻激勵信號的方式來判斷驅動和檢測模態是否匹配。文獻[10]采用鎖相環檢測驅動信號和檢測模態位移信號的相位以實現模態匹配的檢測。文獻[11]則通過采用“極值尋找控制器”來尋找使檢測模態達到運動峰值的點，以此方法判斷模態匹配。但當陀螺處于模態匹配時，其機械帶寬會急劇降低至0 Hz（機械帶寬為0.54Δf），所以必須通過有效辦法拓展帶寬[12]，以保證陀螺滿足實際應用。

本文采用了基于驅動位移相位信息的頻率調諧原理，有效避免了由于 90°移相環節引入的相位誤差，并此基礎上，結合PI經典搭建了相關的控制系統。

1 雙質量硅微機械陀螺結構模型及調諧原理

本文所述的硅微機械陀螺儀結構機械模型如圖 1所示，結構中包含了驅動模態（沿x軸方向，包括驅動框架、驅動模態剛度和阻尼、哥式質量塊）和檢測模態（沿y軸方向，包括檢測框架、檢測模態剛度和阻尼、哥式質量塊），其中驅動框架和檢測框架只在x和y方向有一個自由度，哥式質量塊在x和y方向同時具有兩個自由度[2]。

圖1 硅微機械陀螺結構機械模型Fig.1 Mechanical model of MEMS gyroscope structure

微機械陀螺儀結構振動情況的動力學方程如下式所示：

它們分別是驅動和檢測模態的諧振角頻率和品質因數。從式(1)可以看出，mc在 my中占的比重與哥氏力的大小成正比，為方便分析，這里令 mc=my。假設驅動模態所受靜電力為一個恒頻恒幅的正弦波，即 Fd,x=Fdsin(ωdt)，其中，Fd為其驅動幅度，ωd為其驅動角頻率。通常情況下，為了獲得最高的驅動位移，通常令驅動模態工作在其諧振頻率點，即有ωd= ωx，則驅動模態和檢測模態位移可表達為：

其中，

則當ωy和ωd值相差較大(Δf＞10 Hz)且Qy為數千量級時，φy≈0，那么ys(t)=Aysin(ωdt)與驅動位移信號相位相差90°。當ωy和ωd相差較小（Δf≈0Hz）時，由于在控制過程中會存在超調的現象，ωy和ωd值的大小會出現交替，則φy值又存在以下兩種情況：

從式(4)可知，無論Δf從左側還是右側趨向于0，φy值最終都將等于-90°，即 ys(t)=Aycos(ωdt)與驅動位移信號同頻同相。為了使梳齒檢測具有更好的線性度，通常都采用滑膜形式，即改變交疊面積的方式。但若想產生靜電負剛度，則需要采用壓膜方式。一個典型的壓膜梳齒的示意圖如圖2所示[2,9]。

圖2 壓膜電容示意圖Fig.2 Schematic of squeeze film capacitance

通過計算可得到壓膜電容上下兩極板間產生的靜電力，如下式所示[2]：

式中：ε0=8.85×10-12F/m 為介電常數；y0為兩板間沿 y軸的間距；x0為兩板在 x軸方向上的疊加長度；z0為兩板在z方向的長度；x、y分別為兩極板沿x、y軸相對位移量；?x和?y分別代表沿著x、y方向力的矢量。將式(5)中?y矢量方向上的分量進一步對y求導，可得壓膜電容上下極板間產生的靜電剛度：

式中，n為調諧梳齒數量，且y<

對于采用“推挽”結構的調諧梳齒，其產生的靜電剛度值為式(6)中的兩倍[8-9]，則通過式(6)可知，通過改變加載在上下極板間的電壓V即可調節剛度值。進一步地，檢測模態的諧振頻率可表達為：

表1為微機械陀螺結構模型參數。在其基礎上，圖3給出了調節電壓V和諧振頻率以及模態剛度關系曲線。可以看出，隨著V的增大，ωy逐漸ωd，當V≈ 10 V時，兩模態諧振頻率相等，但隨著V的進一步增大，檢測模態諧振頻率小于驅動模態諧振頻率，且差值逐步拉大。因此，可將調節電壓作為控制量，但在控制過程中需要判斷何時 Δf=0 Hz。值得注意的是，由于調節電壓的范圍的限制，在設計過程中，驅動和檢測模態的諧振頻率差值不應設計得過大。

表1 結構和系統參數Tab.1 Structure and system parameters

圖3 調節電壓和諧振頻率以及模態剛度關系曲線Fig.3 Relationship between adjust voltage and resonant frequency and stiffness

2 頻率調諧控制系統設計

為了能夠對頻率調諧系統進行實時控制，系統的觀測量必須始終存在，而上述檢測模態的位移只能通過外部施加靜電力才能產生，不適合應用在未配備檢測反饋電極的陀螺結構中。本文采用正交信號與驅動位移信號相位關系作為觀測量搭建控制系統。正交信號與上節分析的檢測位移信號相位相差 90°，則在未調諧狀態下正交信號與驅動位移同相，調諧后正交信號應與驅動位移信號正交。進一步的對正交信號在頻率調諧過程中的信號成分進行分析，如圖4所示[2]。

圖4 正交信號成分與頻差關系Fig.4 Relationship between quadrature error signal components and resonant frequency split

從圖4中可知，當頻差趨等于0時，正交信號幅度達最大（這也正是文獻[5]中采用正交信號峰值判斷頻率調諧狀態的原因），此時其中的cos(ωdt)分量約為0，同時，Δf在-1 Hz到+1 Hz范圍內 cos(ωdt)分量的幅度與Δf呈一一對應的單調遞減關系，且線性度較好，因此它可用作模態調諧的判據。由于正交信號一直存在于結構中，因此本節采用正交信號與驅動位移信號x(t)相位差作為判斷頻率調諧的依據，則正交校正環節不應完全消除正交信號（應只保留較小幅度的正交信號以減小其對哥氏信號的影響）。其調諧控制系統原理如圖5所示。

圖5 調諧控制系統框圖Fig.5 Schematic of tune controlling system

正交等效輸入角速率ΩQE在驅動位移同相信號的調制下產生正交力FQE作用于檢測模態上。檢測模態輸出信號經過位移-電容轉換裝置Kyc和前級放大器Kpre處理后被驅動回路中驅動位移同相信號 Vdaccos(ωdt)解調，經過兩階低通濾波器FLPF1和FLPF2作用后送入放大環節Kampt中，后與參考電壓信號Vreft進行比較，結果經過比例積分控制器和調諧靜電力負剛度轉換系數Kstiff的作用產生調節剛度Δk，與初始剛度ky疊加后形成最終剛度改變檢測模態的諧振頻率 ωy。上述系統可動態調節 Δk，直至 cos(ωdt)的分量與參考電壓基準Vreft相等，可通過調節Vreft來調節ωy和頻差Δf。

圖6 陀螺在Simulink中的仿真模型Fig.6 Gyroscope simulation model in Simulink

本文在之前微機械陀螺儀系統模型的基礎上加入了頻率調諧PI控制模塊以及諧振頻率解算模塊[13]，如圖 6所示，其中的控制器參數如表 2所示。采用 PI控制器的頻率調諧系統能夠較方便地在模擬電路中實現，并具有很好的可靠性和重復性。通過調節基準模塊Vreft可對頻差的穩態誤差進行調整，由于后期涉及到帶寬拓展的問題（可采用比例積分相位超前控制方法[12]），所以系統工作點初步設定為Δf=0.03 Hz。

對圖6調諧控制系統的穩定性進行分析，可得到其奈奎斯特曲線，如圖7所示，圖中曲線并未包括(-1,0j)點，可以證明系統是穩定的。

表2 控制器參數Tab.2 Controller parameters

圖7 頻率調諧控制系統回路奈奎斯特圖Fig.7 Nyquest map of the system

圖8 系統仿真曲線Fig.8 System simulation curves

3 頻率調諧控制系統仿真

為了減小與其他控制系統的耦合，并觀察頻率調諧系統的動態特性，本文首先將整個系統開始仿真，當系統穩定時（設定系統穩定時間為 1 s），再將調諧系統開啟，以此主要分析調諧控制系統的動態特性和穩定性等問題。為了對比本文之前的分析內容，本文選取了三個觀測點：第一路為驅動位移信號 x(t)，其相位信號作為調諧系統的參考基準；第二路為檢測位移信號 y(t)，由于回路中沒有接入任何外界輸入角速率，所以位移信號主要成分應為正交信號，其相位也是極為重要的觀測量；第三路為頻差Δf信號。仿真結果如圖 8（左）所示，可以清楚看到，未加入調諧系統時，陀螺的驅動和檢測回路在0.5 s以后就基本達到了穩定狀態，在1 s時加入調諧控制系統，對驅動回路的穩定工作并無影響，檢測位移信號變大，這進一步驗證了頻差減小時，整個陀螺的機械靈敏度有大幅度提升。在調諧系統加入后0.5 s，系統進入另一個穩定狀態，此時檢測位移幅值恒定，頻差也基本保持不變。為了更清楚地反映圖8（左）中的信息，將時間軸放大，如圖8右下（時間軸范圍為0.5～0.505 s，此時系統處于未加入調諧系統的穩定狀態）和圖8右上（時間軸為4.5～4.505 s，此時系統處于加入調諧系統的穩定狀態）所示，其中，在整個過程中，驅動位移幅值均在0.8 μm左右恒定不變。在調諧系統工作之前，檢測位移幅值約為0.013 μm左右，其相位與驅動位移相位相差 180°（其中均為正交信號），此時驅動和檢測模態頻率差Δf穩定在20.2 Hz左右。當調諧控制系統工作后，檢測位移信號幅值增大為0.13 μm 左右，其相位與基準相位（驅動位移信號）相差-90°。由于系統中只有正交信號，故達到了頻率調諧狀態，此時驅動和檢測模態頻率差Δf為-0.032 4 和-0.032 5 之間，與之前設定的頻率差-0.03 Hz基本吻合，誤差產生原因主要是由于參考電壓基準Vreft所致。

上述過程證明了頻率調諧控制系統的有效性、穩定性和快速性。此外，為了更好地反映頻率調諧的效果，針對調諧前后陀螺的標度因數指標進行了仿真（如圖9所示）。調諧前，陀螺標度因數為 13.1 mV/((°)·s-1)（圖 9 上），調諧后標度因數為 220.6 mV/((°)·s-1)（圖 9 下），提高了近17倍，大大優化了靈敏度等參數。

圖9 頻率調諧前（上圖）后（下圖）陀螺標度因數仿真結果Fig.9 Scale factor simulation results,before(up)and after(down)mode-matching

4 結 論

較小的驅動-檢測模態頻率差可使微機械陀螺儀具有更高的靈敏度和精度。本文針對上述需求基于檢測模態壓膜梳齒設計了微機械陀螺儀模態調諧控制系統，調諧狀態通過檢測回路中正交信號與驅動位移信號相位差判定，控制系統采用了經典的PI控制器保證了其具有較好的移植特性，實現簡單。仿真結果顯示了控制系統具有較好的穩定性、快速性和動態特性。

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