基于逆Gaussian過程的MEMS加速度計壽命融合預測方法

周 源，呂衛民，孫 媛

（1. 海軍航空大學，煙臺 264001；2. 海軍工程大學，武漢 430000）

MEMS（Micro-Electro-Mechanical Systems）加速度計是武器裝備慣導系統的核心部件，其可靠性與穩定性直接決定了武器裝備的作戰使用效能，準確掌握MEMS加速度計的壽命信息對于有效開展預防性維修、視情維修等工作至關重要。MEMS加速度計是高精度的機電一體化產品，某些性能參數在工作或長期貯存過程中不可避免發生退化，退化量的累積最終會導致產品失效。已有研究結論表明，MEMS加速度計內部的性能退化綜合表現為零位電壓的測量值增大[1]，因此，如果將零位電壓作為性能退化指標建立退化失效模型，能夠預測出 MEMS加速度計的壽命信息。MEMS加速度計的失效機理較為復雜，尚不能通過失效物理分析的手段建立其退化失效模型，這種情況下可考慮采用退化數據擬合的手段建立產品的退化失效模型[2-4]。隨機過程由于天然適合描述產品退化的不確定性，目前廣泛用于基于退化數據擬合的性能退化建模。將MEMS性能退化數據與Wiener、Gamma、逆Gaussian[5-8]這三種廣泛使用的隨機過程分別進行擬合表明，逆Gaussian隨機過程具有最優的擬合效果，因此本文嘗試利用逆Gaussian隨機過程構建MEMS加速度計的退化失效模型，從而預測其壽命信息。

產品壽命包括兩個層面：第一是產品的總體壽命特征，例如可靠壽命、平均壽命，可作為實施批次產品預防性維修的重要參考[4]；第二是產品中某個體的壽命指標，例如個體剩余壽命，這是開展視情維修工作的重要依據[9]。從發展歷史上看，總體壽命特征預測屬于傳統可靠性領域，采用概率論與數理統計方法進行預測，而個體剩余壽命預測屬于PHM（Prognostics and health management）領域，通常采用卡爾曼濾波、向量機等智能算法進行預測。文獻[10]通過某型加速度計的歷年故障數據評估貯存壽命的分布特征，利用了若干個壽命分布模型與故障數據進行擬合，最終得出此加速度計貯存壽命服從極值分布，貯存壽命為12.94年的結論。此方法需要累積一定數量的故障數據，并不適用于新型MEMS加速度計的壽命預測。文獻[11]在預測某型寶石軸承支撐擺式加速度計貯存壽命時，將加速度計時標因數作為性能退化參數，設計了溫度加速退化試驗高效預測出貯存壽命為64 200 h。此方法是對產品的總體壽命特征進行預測，沒能實現個體剩余壽命的預測。文獻[12-13]也探討了利用加速試驗快速預測某型加速度計貯存壽命的方法，其中依然探討的是總體壽命特征的離線預測方法。

以往的研究工作大都沒有考慮兩類壽命預測的融合，這不僅額外增加了壽命預測的工作量，而且制約了壽命預測水平的發展。為此，本文基于逆Gaussian隨機過程，提出了總體壽命特征預測與個體剩余壽命預測的一體化解決方案，并且為了應對目前 MEMS加速度計的樣本量較小、測試數據有限的不足，采用融合預測方法提高預測結果的準確性。

1 總體壽命特征預測方法

以上模型中沒有考慮產品個體間的退化過程差異，現有研究表明，考慮產品個體之間的退化過程差異有助于提高壽命預測結果的準確性。為了描述產品個體之間的退化差異性，可分別設為服從某種概率分布的隨機參數[5,8,15-16]。為了便于統計分析，本文設服從如下共軛先驗分布：λ服從 Gamma分布，如；記，且服從如下條件正態分布，如，其中為超參數。

相對于式(3)中基于固定參數逆 Gaussian過程推導出的 CDF，MEMS加速度計基于隨機參數逆Gaussian過程的CDF為

2 個體剩余壽命預測方法

圖1 產品剩余壽命示意圖Fig.1 Residual life of the product

聯合后驗密度函數 π (δ,λ|Y1:n)由Bayes公式推導出：

其中，

代入式(4)，則：

共軛先驗分布與其后驗分布具有相同的分布函數，區別只是參數值的變化，據此從式(10)中推導出超參數的后驗估計、、、分別為

當得到更多的現場數據時，超參數的后驗估計值可不斷更新。將、、、、代入式(6)，得到后驗剩余壽命的分布函數，進一步可獲得后驗剩余壽命期望值。即為利用Bayes方法獲取的個體剩余壽命預測值。

3 參數估計方法

無論是進行總體壽命特征預測還是個體剩余壽命預測，前提是必須要獲得時間參數及超參數的估計值。

3.1 估計時間參數

3.2 估計超參數

可首先估計出每個產品的逆Gaussian退化模型的參數值，然后再進一步利用每個產品對應的估計 ，然而，文獻[17-18]指出此兩步估計法的參數估計精度不如 EM(Expectation Maximization)算法，因此本節設計了EM算法一體化估計出。

M-step：將式(17)中的各隱含數據項利用對應的期望值代替后，得到：

式(26)中，ψ-1(?)為逆digamma函數。

第L+1次迭代：

4 案例應用

對某型 MEMS加速度計的零位電壓輸出值進行了定期測量，發現此款產品的零位電壓輸出值在長期貯存過程中有逐漸增大的趨勢，將t時刻零位電壓測量值相當于初始時刻測量值的百分比增量

表1 MEMS加速度計零位電壓的百分比增量Tab.1 The percentage increments of zero voltage of MEMS accelerometers

4.1 總體壽命特征預測

首先利用假設檢驗方法對每個樣品的性能退化是否為逆Gaussian過程進行驗證。假定每個樣品的性能退化為逆 Gaussian過程，并估計出每個樣品對應的退化模型參數值，如表2所示。根據文獻[5,17]，如果 服從自由度為1的分布，則樣品性能退化服從逆Gaussian過程。設顯著性水平為0.05，采用Anderson-Darling方法判斷是否接受零假設，驗證出所有樣品的性能退化都服從逆Gaussian過程。

表2 逆Gaussian退化模型參數估計值Tab.2 Parameter estimates of inverse Gaussian model

利用式(16)對所有樣品的性能退化數據進行一體化參數估計，獲得極大似然估計值為。設超參數的初始值為，結束條件為10-5，利用 EM 算法經過10751次迭代獲得超參數估計值為(138.230,0.008, 3.537, 0.056)，迭代收斂過程如圖2所示。

確定 MEMS加速度計基于隨機參數逆 Gaussian過程的CDF為

從而得到累積失效概率變化曲線如圖3所示，根據圖中曲線可知產品在最初40 000 h前的失效風險幾乎為0，而50 000 h后失效風險明顯增加。

圖2 超參數估計值的迭代收斂過程Fig.2 Iteration convergence process of hype-parameter estimates

圖3 MEMS加速度計累積失效概率曲線Fig.3 Accumulative failure curves of MEMS accelerometer

表3 總體壽命特征預測值及其置信區間Tab.3 The predictions and confidence intervals of the population life

4.2 個體剩余壽命預測

對樣品9的零位電壓進行了6次測量，各次測量時間及計算出的零位電壓百分比增量如表4所示。將表4中的數據作為現場信息，表1中的數據作為先驗信息，利用Bayes信息融合理論對樣品9的剩余壽命進行預測。

表4 樣品9的零位電壓百分比增量Tab.4 The percentage increments of zero voltage of sample 9

表5 超參數的后驗估計值Tab.5 The posteriori estimates of hyper-parameters

圖4 超參數后驗估計值的更新過程Fig.4 The updating process of hyper-parameters’posteriori estimates

如表6及圖5所示，得出如下主要結論：

表6 剩余壽命預測值Tab.6 The residual life predictions

1）在對個體性能退化測量較少的情況下，傳統方法無法預測出剩余壽命值，而本文所提方法克服了此缺陷；

2）傳統方法獲得的壽命預測值波動幅度較大，顯示出預測結果具有較大的不確定性，而本文所提方法由于融合了充分的先驗信息，有效降低了預測結果的不確定性；

3）由于本文方法采用了隨機參數的共軛先驗分布，每獲取新的性能退化數據后可立即更新超參數的后驗估計值，能夠實現個體剩余壽命的實時預測。

圖5 個體剩余壽命估計情況Fig.5 Evaluation of the individual residual life

5 結 論

為了高效預測MEMS加速度計的總體壽命特征與個體剩余壽命，提出了基于逆Gaussian退化模型的一體化壽命預測方法。主要結論如下：

1）MEMS加速度計零位電壓具有較為明顯的趨勢，以此作為性能退化指標毋須產品失效即可預測出產品的失效信息，進而實現產品的壽命預測，具有較好的工程應用價值。

2）逆 Gaussian隨機過程具有良好的統計特性，利用隨機參數的共軛先驗分布函數可描述個體退化間的差異性，EM 算法提供了一種估計共軛先驗分布函數超參數值的有效手段。

3）融合先驗信息和現場信息預測個體剩余壽命在現場退化數據有限的情況下是非常必要的，能夠克服僅利用現場退化數據預測的剩余壽命不確定性較大的缺陷。

4）本文基于逆Gaussian退化模型將總體壽命預測方法與個體剩余壽命預測方法結合到一起，為產品壽命的融合預測提供了有益參考和借鑒。

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）：

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